（５）複素数平面での円の極と極線

大学への数学（旧数Ｂ：複素数）の勉強 

【問１】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径１の円がある。
複素数平面上の実数ａであらわされる点ａから、この円に接する接線を引いて、円と接する点をｚとｗとする。その接点ｚとｗを結ぶ線（極ａに対する極線と呼ぶ）がｚ＝ｘ＋ｉｔであらわされるものとする。
（ｘは実数定数であり、ｔは実数の可変パラメータ）。
この場合に、極線が実軸と交わる点ｘの値を求めよ。

（解答）
原点を中心とする半径１の円の接点ｚとｗはｘを用いて以下の式であらわせる。

接点ｚにおいて接線ＡＺと円の半径ＯＺとが直交する条件は、実数のパラメータｓを用いて以下の式（３）であらわせる。

１／ｚ＝ｗだから：

（６）に（２）を代入する。

（８）の実部と虚部それぞれが０になるので以下の式がなりたつ。

（９）を変形するとｘを与える式が求まる。

（解答おわり）

【解２】
複素数のａで表された点ａを通って半径１の円に接する直線の接点ｚを求める方程式が、以下の図の様に考えられる。

ここで、ａを通り円に接する点ｚを表す式１は、ある直線上の点ｚの式であり、その直線の式と円の交点としてｚが求められる。
そのため、式１の表す直線が、円と接する点ｚとｗを結ぶ線（極ａに対する極線と呼ぶ）である。
その直線の式から、以下の様にして、原点からその直線へ下した垂線の足ｘの位置を与える式が得られる。

（解答おわり）

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