４次方程式の一般解

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講　複素数平面

【問】

【解１】
この４次方程式の一般解を解きたい。

（４）を（１）に代入して式を書き換える。

未知数Ｚを追加して解の自由度を増した式に書き換える。

未知数Ｚを定める方程式を１つ増して、解答に都合の良いように、（９）を満足させる以下の２つの式を定める。 

この２つの式が成り立つときは（９）が成り立つ。
ただし、（９）が成り立つ全ての解が上の２つの式から導かれる保障は無い事には気を付けておく。
（この懸念があるが、計算をすすめて、結局４次方程式の４つの解が全て得られた。
そのため、その結果から、上の２つの式は（９）が成り立つ全ての解を導くことができることが分かる。）
以下で、この２つの式のうち、先ず（１１）を解く。

Ｚの３次方程式の解Ｚを以下の３つとする。
この３つの解は３次方程式の解の公式をエクセルの関数で定義してエクセルで解を自動計算して求める。

未知数Ｚの解αを（１０）に代入して式を書き換える。

（１９）（２０）を解いてｙの４つの解を得る。
その解は、２次方程式の解の公式をエクセルの関数で定義してエクセルで解を自動計算して求める。
それを（３）に代入してｘの４つの解が得られる。

【解２】
　４次方程式を２つの２次式の積に因数分解して解く。
　因数分解した２つの２次式の係数ａ，ｂ，ｃの解を、以下のようにして求めることで４次方程式を解く。


先ず、３次方程式の解の公式を使って、この式(10)の実数解ｓを１つ求める。
次に、その実数解ｓを使って以下の計算をする。

この方程式(12)のｚの解αとβを求める。
その解を使って以下の計算をする。

式(13)で得た比を使って係数ａとｃを求める。そして式(6)(7)を使って、係数ｂを求める。
　こうして求めた２つの２次式をそれぞれ因数分解して４次方程式の解を求めれば良い。
（解答おわり）

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