第２講３節 ２つのベクトルの成す角のｃｏｓ

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問題】上図のように、絶対値が１の２つのベクトル
 
と

があるとき、
その２つのベクトルの成す角度θの余弦ｃｏｓ（θ）を求める。
ただし、
ベクトル の偏角はαとし、
ベクトル の偏角はβとする。

（解答開始）
ベクトルの成分の実数Ｗ_１，Ｗ_２，Ｓ_１，Ｓ_２と角度をあらわす実数αとβとθの間には以下の関係があります。
θ＝β－α
Ｗ_１＝ｃｏｓα
Ｗ_２＝ｓｉｎα
Ｓ_１＝ｃｏｓβ
Ｓ_２＝ｓｉｎβ

余弦定理により

∴　ｃｏｓ（θ）＝Ｓ_１Ｗ_１＋Ｓ_２Ｗ_２　　　（式１）
（解答おわり）

（補足１）
以上のように、余弦定理を用いて式１が得られました。
しかし、この式１は、ベクトルの内積の根源的な定義から、余弦定理を使わずに導き出されます。

（補足２）
各パラメータを角度αとβの式で置き換えると、
ｃｏｓ（θ）＝ｃｏｓβｃｏｓα＋ｓｉｎβｓｉｎα
ｃｏｓ（β－α）＝ｃｏｓβｃｏｓα＋ｓｉｎβｓｉｎα　　（式２）
（式２）は、三角関数（ｃｏｓ）の加法定理と呼ばれています。
ｃｏｓの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。

リンク：
ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの射影
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