２つのベクトルの成す角のｓｉｎ

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問題】上図のように、絶対値が１の２つのベクトル
 
と

があるとき、
その２つのベクトルの成す角度θのｓｉｎ（θ）を求める。
ただし、
ベクトル の偏角は実数αとし、
ベクトル の偏角は実数βとする。

なお、ベクトルＯＷの成分の実数Ｗ_１，Ｗ_２と、ベクトルＯＳの成分の実数Ｓ_１，Ｓ_２と、角度を表わす実数αとβとθの間には以下の関係があります。
θ＝β－α
Ｗ_１＝ｃｏｓα
Ｗ_２＝ｓｉｎα
Ｓ_１＝ｃｏｓβ
Ｓ_２＝ｓｉｎβ

ｃｏｓ（θ）が余弦定理で求められるので、それを利用してｓｉｎ（θ）を求めるのが正式な求め方ですが、
ここでは、三角関数の加法定理が先にわかっているものとして、
その定理を使って、ｓｉｎ（θ）を求めます。
その方法では、簡単にｓｉｎ（θ）が求められるので、その手順を覚えておけば
ベクトルのなす角度のｓｉｎ（θ）をαとβであらわす公式を簡単に覚えられます。

三角関数の加法定理のｓｉｎの公式は、以下の覚え易い式です。
ｓｉｎ（β＋γ）＝ｓｉｎβｃｏｓγ＋ｓｉｎγｃｏｓβ　（式１）
ここで、
β＋γ＝β－α＝θ
として、式１を、βとαによる式に置き換えます。
ｓｉｎ（β－α）
＝ｓｉｎβｃｏｓ（－α）＋ｓｉｎ（－α）ｃｏｓβ
＝ｓｉｎβｃｏｓ（α）－ｓｉｎ（α）ｃｏｓβ
∴ｓｉｎ（θ）＝ｓｉｎβｃｏｓα－ｓｉｎαｃｏｓβ
ｓｉｎ（θ）＝Ｓ_２Ｗ_１－Ｗ_２Ｓ_１　（式２）

式２を覚えるために上の絵を書いて覚えるようにすると、覚え易いです。

ベクトルのなす角のｓｉｎの公式（式２）を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えにくい、ベクトルのなす角度のｓｉｎの公式が、覚えやすくなります。

（式２を直接思いだすときの注意）
式２の公式を（式１）から導き出さずに、直接（式２）の形の式を思い出したときには、
公式の正と負とを入れ間違える事が多い、とても間違え易い公式なので、
思い出した公式が正しいかどうかを、以下の図の場合でたしかめてください。

この図のＷ（１，Ｏ）とＳ（０，１）の場合に、正しい答え（＝１）が出るかどうか、公式２を思い出す毎に確かめてから、公式を使ってください。
面倒ですが、間違え易いので、このような検算をやるしかないと思います。

この検算をやるしかないので、いっそのこと、

 上の図のように検算方法を組み込んだ図を覚えて、この公式の（式２）を思いだすようにした方が良いと思います。

　また、式２を覚えるには、以下の図のように、ベクトルＷを左回りに９０度回転したベクトルＷ_Ｖ＝（Ｖ_１，Ｖ_２）=（-W₂，w₁）を考えて、そのベクトルの成分とベクトルＳの成分の積の和を考える方が覚えやすいです。ベクトルＷ_ＶとベクトルSの成す角度のcosは、ベクトルWとベクトルの成す角度のsinです。そのため、ベクトルＷ_ＶとベクトルSの内積がsinθになり、式２が成り立つ。 


（補足）
ベクトルｗを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｗ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ｗになる。
そのため、ベクトルの内積ｗ_ｖ・ｓを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ｗ_ｖ・ｓ＝－ｗ・ｓ_ｖ

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