ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】以下の空間図形の線分ＯＢと、三角形ＤＥＦが張る面βとの交点Ｇの位置ベクトルをもとめよ。
　なお、ベクトルＯＡをベクトルａとし、ベクトルＯＢをベクトルｂとし、ベクトルＯＣをベクトルｃとする。
　そして、点Ｄは線分ＯＡを２：３に内分する点、点Ｅは線分ＡＣを２：１に内分する点、点Ｆは線分ＢＣを１：２に内分する点である。

【解答方針】
　ベクトル方程式の問題は、
「３次元空間の全てのベクトルは、３つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、３つの基本ベクトルを決めて、その３つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
　位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。


【解答】
３点Ｄ、Ｅ、Ｆの位置ベクトルを以下の式１から３であらわす。

線分ＯＢと面の交点Ｇの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。

このベクトル方程式を解くと、以下の式（４）から式（６）が得られる。

この連立方程式を解いて、係数ｘを計算する。

（解答おわり）

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