問題をやさしくする数学（２１）論理の問題の反例範囲を分割する

【問】
実数ａ，ｂに関する条件ｐ，ｑを次のように定める。
ｐ：　（ａ＋ｂ）^２＋（ａ－２ｂ）^２＜５
ｑ：　（ａ＋ｂ）^２＜１　または　（ａ－２ｂ）^２＜４
次の①～④のうち、命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例になっているのはどれか。
（反例候補）
①ａ＝０，ｂ＝０
②ａ＝１，ｂ＝０
③ａ＝０，ｂ＝１
④ａ＝１，ｂ＝１

【解答】
命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。

（１）命題ｐとｑをパラメータａとｂであらわす式が複雑なので、命題の式の方をＸ､Ｙとおいて命題を見やすくする
（２）命題ｑが複雑なので、命題ｒとｓの２つの命題に分けて、命題ｑを（ｒまたはｓ）に変換ずる。
ｒ：　（ａ＋ｂ）^２＜１
ｓ：　（ａ－２ｂ）^２＜４

命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
（ｒまたはｓ）及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。
この命題の範囲は、以下の式のように変換する。

（ｒまたはｓ）については、
（ｒまたは（ｓ及び（ｒで無い）））
として、重なりが無い反例範囲に分ける。
そして、結局、反例範囲を、ＡとＢとの２つに分ける。

（問題を簡単にする工夫）
このＡとＢとについて、別々に反例をさがす。
このＡとＢの反例範囲には、範囲の重なりが無いので反例探しに無駄が無い。
ＡとＢとを別々に探すと、反例範囲の図は正確に書かないでも良く、図が簡単に手間がかからないようになる。

先ず、反例範囲Ａに反例候補①②③④が入るかを調べる。
反例範囲を以下の図の斜線であらわす。

③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝１なので、ｒを満足しない。よって反例では無い。

次に、反例範囲Ｂに反例候補①②③④が入るかを調べる。

③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｙ＝－２なので、ｓを満足しない。よって反例では無い。
④の、ａ＝１，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝２，Ｙ＝－１なので、ｓを満足する。
また、円周上の点なので、（ｐで無い）も満足する。
よって、④が反例である。
（解答おわり）

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