【問２】Ｘ５＝１の解を求めよ。
Ｘ５－１＝０
この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
が、Ｘ５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。
それらの解は、Ｘ１の累乗であらわせます。
Ｘ２＝Ｘ１２
Ｘ３＝Ｘ１３
Ｘ４＝Ｘ１４
です。
ここで、一旦、この問２から離れて、
５次方程式の根と係数の関係の１つの以下の関係について考察します。
この関係を整理すると、以下の式になります。
このように定理が得られたのですが、この定理を証明せよと求められたら、証明のし方が以下の２つあります。
【解１】
式①から式②を導く。
（これは、既に示しました。）
【解２】
以下のようにして、絶対値が１の複素数Ｘ１を基準にした式を使って証明できます。
この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が１の複素数Ｘ１を基準にして、全ての解をＸ１の累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」
更に、次の定理も証明しましょう。
【問３】
【解】
先ず、以下の置き換えをします。
以下のように式を変形します。
この問題も、絶対値が１の複素数Ｘ１を基準にして、全ての解をＸ１の累乗に置き換えた式を使うときれいに解けました。
次に、問２に戻って、５次方程式の解き方を考えます。
【問２】
このように因数分解できたので、以下の４次方程式③を求める問題に変わりました。
この４次方程式③を２つの２次方程式に因数分解して問題を解く方法があります。
それは力仕事の計算になると思います。
【４次方程式③の解（その１）】
一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
２次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
定理１（式②）を使うと、以下のように問題が解ける利点があります。
この式②を、ｃｏｓ（２π／５）＝ｔであらわした式④に書き換えます。
（注意）
ここで、式②を、ｃｏｓ（４π／５）＝ｔであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に（２ｔ２－１）のあらわすｃｏｓ（８π／５）がｃｏｓ（２π／５）に等しいので、
式②から作るその式も式④と同じ式になります。
それを理解しているならば、
すなわち、
「この式④は、ｔの解が
ｃｏｓ（２π／５）とｃｏｓ（４π／５）とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式④から、ｃｏｓ（２π／５）とｃｏｓ（４π／５）との２つの解を得ることができます。
以下では、それを理解していない場合の、
（それでも正しい解答ですが） 解答を書きます。
この式のｔを与える２つの解のうちからｃｏｓ（２π／５）をあらわす適切な解を選びます。
--（注意）-----------
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
√(１０２－４×５)＝√８０＝4√５⇒平方根記号が外せないので、元の式の二重根号は外せません。
-------------------
これで１つの解が得られました。
この解に式②を使うと、
もう１つの解の実数成分ｃｏｓ（４π／５）が得られ、
その虚数成分も計算することでもう１つの解も得られます。
この２つの解の共役複素数が残りの２つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。
この解き方の方が、４次方程式③を因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
（人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが）
【４次方程式③の解（その２）】
以下の解き方もあります。
（場合１）
の場合：
以上の計算で現れた二重根号が外せるか否かは、以下の計算で判定します。
以上の式変換によって二重根号が外れないので、この二重根号は外すことができませんでした。
（場合２）
の場合：
以上の場合１と場合２の解をまとめると：
（４次方程式③の解（その２）おわり）
リンク：
高校数学の目次
Ｘ５－１＝０
この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
が、Ｘ５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５ラジアン回転した位置が、この方程式の解です。
それらの解は、Ｘ１の累乗であらわせます。
Ｘ２＝Ｘ１２
Ｘ３＝Ｘ１３
Ｘ４＝Ｘ１４
です。
ここで、一旦、この問２から離れて、
５次方程式の根と係数の関係の１つの以下の関係について考察します。
この関係を整理すると、以下の式になります。
【解１】
式①から式②を導く。
（これは、既に示しました。）
【解２】
以下のようにして、絶対値が１の複素数Ｘ１を基準にした式を使って証明できます。
この解き方をすることで以下の教訓が得られました。
「この問題は、絶対値が１の複素数Ｘ１を基準にして、全ての解をＸ１の累乗に置き換えた式を使うときれいに解ける。」
更に、次の定理も証明しましょう。
【問３】
先ず、以下の置き換えをします。
次に、問２に戻って、５次方程式の解き方を考えます。
【問２】
それは力仕事の計算になると思います。
【４次方程式③の解（その１）】
一方、今までに得た知識を使って、以下のように解くと、
２次方程式を解く計算になるので、
少し楽のように思います。
この式②を、ｃｏｓ（２π／５）＝ｔであらわした式④に書き換えます。
ここで、式②を、ｃｏｓ（４π／５）＝ｔであらわした式に書き換えた場合も、
その場合に（２ｔ２－１）のあらわすｃｏｓ（８π／５）がｃｏｓ（２π／５）に等しいので、
式②から作るその式も式④と同じ式になります。
それを理解しているならば、
すなわち、
「この式④は、ｔの解が
ｃｏｓ（２π／５）とｃｏｓ（４π／５）とを解に持つ式である」
ことを理解しているならば、
この式④から、ｃｏｓ（２π／５）とｃｏｓ（４π／５）との２つの解を得ることができます。
以下では、それを理解していない場合の、
（それでも正しい解答ですが） 解答を書きます。
ここで、二重根号が出て来たので、この二重根号は外すことができるか以下のチェックをします。
√(１０２－４×５)＝√８０＝4√５⇒平方根記号が外せないので、元の式の二重根号は外せません。
-------------------
これで１つの解が得られました。
この解に式②を使うと、
もう１つの解の実数成分ｃｏｓ（４π／５）が得られ、
その虚数成分も計算することでもう１つの解も得られます。
この２つの解の共役複素数が残りの２つの解になります。
こうして、全ての解が求められます。
この解き方の方が、４次方程式③を因数分解して解くより少し楽なのではないかと思います。
（人により、どれが楽な解き方か個人差があるかもしれませんが）
【４次方程式③の解（その２）】
以下の解き方もあります。
（場合１）
の場合：
以上の計算で現れた二重根号が外せるか否かは、以下の計算で判定します。
以上の式変換によって二重根号が外れないので、この二重根号は外すことができませんでした。
（場合２）
の場合：
以上の場合１と場合２の解をまとめると：
（４次方程式③の解（その２）おわり）
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