複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする

複素数平面が、円の２つの点の接線の交点を求める問題を簡潔明瞭にする。

【問１】
　複素数平面上の原点Ｏを中心にする半径１の円に対して、
その円上の点ｚ_１から引いた接線と、
点ｚ_２から引いた接線の交点Ｐの位置ベクトルを複素数であらわせ。

（解答開始）
（ベクトルＯＰとベクトルＯＭが平行である）

（注）上の式は、図から得た。解答後の補足２で、この式を以下の式（接点の式）から導く。

（接点の式）

ｐの値の計算：

（解答おわり）

（補足１）
　この逆に、ｚ_１とｚ_２をｐであらわす式は以下の式になる。

（補足２）ベクトルＯＰとベクトルＯＭが平行である式：

は、以下の様にして、上の接点の式から導ける。

ここで、ベクトルｚ_１とベクトルｚ_２の長さが等しいので、ベクトル（ｚ_１－ｚ_２）は、ベクトル（ｚ_１＋ｚ_２）に垂直である。
上の内積の式は、ベクトル（ｚ_１＋ｚ_２）に垂直なベクトルにベクトルｐが垂直であることをあらわしている。
ゆえに、ベクトルＯＰ＝ｐはベクトルＯＭ＝（ｚ_１＋ｚ_２）／２に平行であって、

が成り立つ。

（補足３） 
　 ｐをｚ_１とｚ_２であらわす式は、以下の式であらわせるが、

この式は、分母の複素数を実数化した以下の式に変換できる。

ｐの、この形の式は、ＸＹ座標系で計算した、点ｚ_１とｚ_２での接線の交点Ｐの解と同じ形の式である。
　分母の実数化は、もう１つできる（こちらの方が考え易い）。

 以上の２つは、同じｐの分母を実数化する２つの解をあらわしている。そのため、ｐの解は、以下の２つのあらわし方がある。

　この２つの表し方が等しいことを証明するのは簡単では無かったが、複素数平面を使うと、上の２つの計算によって、両者が等しいことが証明できる。
　また、この２つの式は、複素数の偏角αを使って、以下の１つの式であらわすことができる。

（補足４）
　この問題は、上図のように複素数平面を使って、簡潔明瞭にあらわせます。
　２接線の交点Ｐの位置座標は、２接点の中点Ｍの位置によって定まる。
　しかも、その中点Ｍの位置ベクトルｍと交点Ｐの位置ベクトルｐは平行である。
　このように複素数平面であらわして考えると、２接線の交点を求める問題を、２接点の中点Ｍを求める簡単な問題に変換できます。

【問２】

　複素数平面上の原点Ｏを中心にする虚軸方向の直径を２とし実軸方向の直径を２ａとする楕円に対して、
その楕円上の点ｚ_１から引いた接線と、
点ｚ_２から引いた接線の交点Ｐ₀の位置ベクトルを複素数であらわせ。


この問２の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
円の極の座標の解の変換
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