（５）複素数平面での円と直線の交点の別解

大学への数学（旧数Ｂ：複素数）の勉強

【問１】
下図のように複素数平面に、原点を中心とする半径１の円がある。
そして、複素数平面に描いた直線上の点をあらわす複素数ｚ＝ｘ＋ｉｙとあらわす（ｘとｙは実数とする）とする場合に、直線上の点のｘとｙの関係がａｘ＋ｂｙ＝１であらわされるものとする。
その直線とその円との交点ＢとＣの点をあらわす複素数を求めよ。

（地道な計算練習を心がけよう）
　直観的に答えを求める解法を見つける感覚を磨くことも必要ですが、その他に、数学の力を薄っぺらな表面的なものにしないために、地道に方程式を解く計算練習を心がけましょう。
（１）方程式の難しい式を単純な形の式にして無理無く計算するコツを身につけましょう。

（方程式を計算するコツ）
　記号ｘやｙには[長さ]を単位にする記号を使いたい。

　方程式では、足し合わされる項は必ず単位の同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違っている式は誤りです。
　上の図の式において単位の食い違いを生まないためには、上の図の記号ｘとｙには[長さ]の単位が与えられず、ｘとｙは単位の無い無次元量とするしかありません。

　記号ｘやｙを[長さ]を単位にする記号にするために、以下の図のように数式を定義して、記号ｘとｙに[長さ]の単位を与えて問題を解くことにします。 

　この図のように記号を定義すると、
記号ｘ，ｙ，ａ，ｂ，ｒに[長さ]の単位を与えることができます。
（なお、単位が無い無次元量の記号 ｔ には目印を付けて分かりやすくします。）  

　こうして記号に[長さ]の単位を与えた方程式では、足し合わされる項は必ず単位が同じ項のみが足し合わされます。足し合わされる項の単位が食い違った式は誤りです。
 この単位の食い違いをチェックすることで式の計算間違いを発見し易くなるので、こうするととても良いです。

（先ず、方程式を書きます）

式(2)に式(1)を代入して計算します。


　この最後の式の第１項が複雑なので、第１項を新たな記号の項に置き換えます。

　その置き換えに用いる新たな記号は、その記号の値の単位を最小単位の[長さ]にする方が良い。
　それは、式の記号を[長さ]の単位を持つ記号に揃えると、式の計算ミスによる単位の食い違いを発見し易くなり都合が良いからです。
　そのため、単位が[長さ]の記号Ｒを以下の様に定義して、その記号Ｒを使って第１項を簡単化します。

以下で、記号Ｒを使って第１項を簡単化します。

この式の右辺の分子＝

この結果を使って上の式を簡単化します。

 

 次に、１－ｔも計算しておきます。

次に、ｔと（１－ｔ）を使って、ｚをあらわします。

このように地道に計算して、交点ＡとＢの座標が求められた。
（解答おわり）

　以上の、複素数平面における地道な計算は、複素数平面を使わないで従来の座標系で行なう地道な計算よりも楽になりました。
　そのため、複素数平面は高い価値を持つと考えます。

（補足）
複素数平面の点はｚで表せて、下式の様に表せますが、その式は、以下の様に、ｘｙ座標系の直線の式で表して計算できます。
 

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