複素数平面を使うとベクトルの計算が楽になる

複素数平面を使えばベクトルの計算が楽になります。
以下の難問を、複素数平面を利用して、ベクトルの内積を使って解きます。

【難問】三角形ＡＢＣにおいて
２ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝２　（式１）
が成り立っていれば、
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ　（式２）
が成り立つことを証明せよ。

（注意）この問題は、「加法定理」の例題として出されていましたが、
必ずしも加法定理を使って解くものとは限らない。
以下に説明する証明の計算で加法定理は使わないで証明する。
そして、三角形の正弦定理ｓｉｎＡ／|ａ|＝１／（２Ｒ）・・・を使うことが、解答のために本質的に重要。

【重要な注意】
式１のｃｏｓの式を、加法定理その他の三角関数の変換定理で変換しても、式２に至りません。そのように、三角関数の計算の自由度は低いです（加法定理などで変換できる式も少しはありますが）。
そのため、三角関数（特に三角形の角度の三角関数）の問題を自由に解くためには、三角関数の式を、なるべく、ベクトルの式やｘｙ座標の式に変えて計算する必要があります。

（予備知識）
受験問題のときは、三角形の角度のｓｉｎ、ｃｏｓ（三角関数）の式の証明問題は、三角関数の式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。ベクトルを利用して図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（問題をより易しい問題に変換してから解くこと）
証明すべき対象の
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ　（式２）
を直接証明しようとする前に、この式を、図形の問題として、わかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

三角形の正弦定理ｓｉｎＡ／|ａ|＝１／（２Ｒ）・・・を使うと、
２ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ　（式２）
は、以下の式に書き直せます。
２（|ａ|／（２Ｒ））＝（|ｂ|／（２Ｒ））＋（|ｃ|／（２Ｒ））
２|ａ|－|ｂ|－|ｃ|＝０　（式３）
問題がここまで易しくなります。
三角形の辺の長さの関係の式３を証明すれば良いです。

（式１の変形の方針）
正弦定理を使って、証明するべき式２のｓｉｎを消去して易しくしたように、複素数平面上でのベクトルの内積の式を使って、元の条件の、式１のｃｏｓを消去します。

この式を使って、式１を以下のように書き直します。

これにより、式１から式３が導けた。
（ただし、ベクトルｂとベクトルｃが同一方向を向いて∠A=０の場合も解になります。）
（解答おわり）

（コメント）
　以上の計算はベクトル記号を使って計算を記述して解答できます。
　しかし、複素数平面上でベクトルを複素数で記述して計算する方が、（ベクトルの"→"記号を書く必要が無いので）式を書くのが楽になり、便利です。

リンク：
ベクトル記号を使った解答
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