直線の方程式はベクトルの内積の式／点と直線の距離

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▷直線の外の点Ｐと直線との距離
▷３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式

【直線の方程式の持つ意味】
　直線の方程式の一般形は、
ａｘ＋ｂｙ－ｃ＝０　（式１）
である、
と教わります。

この一般形により、
ｘ＝１
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を（式１）で表すことで得する他のメリットを考えます。

（直線の方程式の一般形の持つ意味）
この式１を少し変形した式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｄ^２　（式２）
を考えます。
ここで、右辺にｄの二乗を使ったのは、
この式２の全ての文字定数と変数（ａ，ｂ，ｘ，ｙ，ｄ）に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

【直線の方程式はベクトルの内積の式です】
　下図のように、直線の式１の未知数ｘとｙの係数の作るベクトル（ａ，ｂ）は、直線に垂直である。

ベクトルＯＮ＝(a,b) は直線の法線ベクトルです。

ただし、ＯＨの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。

直線の方程式１は、直線ONに垂直な直線上の点Ｚの位置ベクトルＯＺの直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定である関係を表す上の式である。

【直線の方程式１は（ｘ，ｙ）位置ベクトルの単位ベクトルｖ（法線ベクトル）への正射影の長さが一定の関係をあらわす式である】
 　法線ベクトルＯＮは長さを変えて単位ベクトルｖにして考えると考えやすい。
　直線上の点Ｚ（ｘ，ｙ）と点Ｚ0（ｘ0，ｙ0）とを結ぶ直線に平行なベクトルは、直線の法線ベクトルｖに垂直である。そのため、以下の式が成り立つ。


【直線の外の点Ｐと直線との距離】
　直線上の点Ｚと直線の外の点Ｐとを結ぶベクトルと直線の法線の単位ベクトルｖとの内積は、ベクトルＺＰの法線ベクトルへの正射影の長さである。その長さは、点Ｐと直線との距離（正と負の符号の別がある）をあらわす。

上図のように、点Ｚ又は点Ｐの位置ベクトルの、単位ベクトルｖの方向への射影の長さがあらわされる。
　そのため、点Ｐの、式１の直線への距離は、以下の式５で計算でき、法線ベクトルｖへの点Pの位置ベクトルの射影の長さと直線の点Zの位置ベクトル(x,y)の射影の長さの差であらわされる。

　ただし、点と直線の距離は、射影の長さの絶対値であることに注意すること。すなわち、点Ｐの、直線への距離がｈである場合は、法線ベクトルｖへの位置ベクトルOＰと直線の点Zの位置ベクトルOZ=(x,y)の射影の長さの差は±ｈの２つあることに注意すること。

【３次元空間の平面の方程式はベクトルの内積の式】
　３次元空間で、下図の三角形ＡＢＣを含む平面を表す方程式：
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｋ，
の意味を考える。この平面の方程式は、以下で示すように、平面上の点Ｐのｘ座標とｙ座標とｚ座標の係数の作るベクトル（ａ，ｂ，ｃ）に平面が垂直である関係をあらわす。
ベクトルＯＮ＝(a,b,c) は平面の法線ベクトルである。

（ただし、ＯＨの方向がＯＮの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。）

　上の式であらわした平面の方程式は、直線ＯＮに垂直な平面上の点Ｐの位置ベクトルＯＰ＝(x,y,z) の直線ＯＮ上への正射影の長さＯＨが一定という関係を表す。ベクトルOPの正射影が一定であるということは、点Pを含む平面が直線ONに垂直であることをあらわす。

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