第３講 ベクトルの内積（直線の式）

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

上図のように、互いに垂直で絶対値が１の２つの単位ベクトル と を考える。
上の図の、直角三角形ＯＡＢの、単位ベクトル に平行な方向の辺ＯＢの長さ、および、単位ベクトル に平行な方向の辺ＢＡの長さは、それぞれの単位ベクトルと頂点Ａの位置ベクトル（ＯＡ）との内積で計算できます。

（１）線分ＯＢは、ベクトルＯＡの、単位ベクトル の方向の、点Ｏを通る直線への正射影であり、
（２）線分ＢＡは、ベクトルＯＡの、単位ベクトル の方向の、点Ａを通る直線への正射影です。


上図のように、点Ａ（ｘ，ｙ）を通る直線であって、単位ベクトル に垂直な直線、と原点Ｏとの距離ｈは、
単位ベクトル と点Ａの位置ベクトルの内積であらわせます。
その内積の式を展開すると、直線をあらわす式
ｈ＝ｘ・ｃｏｓθ＋ｙ・ｓｉｎθ
になります。
逆に、上の式のように、単位ベクトル の成分ｃｏｓθとｓｉｎθをｘとｙの係数にした直線の式では、残りの係数ｈは、直線と原点Ｏとの距離をあらわす式になります。

　下図のように、直線の式１の座標値ｘとｙの係数の作るベクトル（ａ，ｂ）は、直線に垂直である。

【直線の方程式１は、ベクトル（ａ，ｂ）方向への、位置ベクトル（ｘ，ｙ）の正射影の長さをあらわす式である。正射影の長さを一定とするので、位置ベクトルの差分のベクトルに対して、ベクトル（ａ，ｂ）が垂直である。】
　位置ベクトル（ｘ，ｙ）のベクトル（ａ，ｂ）の方向への正射影の長さは、位置ベクトル（ｘ，ｙ）と下図の単位ベクトルｖとの内積で計算できる。

上図のように、点Ｚ又は点Ｐの、単位ベクトルｖの方向への正射影の長さがあらわされる。
　そのため、直線が以下の式１であらわされるとき：
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，　（１）
点Ｐの直線への距離は、以下の式５で計算でき、正射影の長さの差であらわされる。

【補足】
実は、ベクトルでは、以下の（その１）の式のように、パラメータｔを使ってあらわした直線の式（その１の式）があります。
（その１）の直線の式を、以下のように、ベクトル との内積をした式に変形すると、先に示した直線の式１（その２の式）に変わります。


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