2016年10月9日日曜日

直線の方程式はベクトルの内積の式/点と直線の距離

【直線の方程式の持つ意味】
 直線の方程式の一般形は、
ax+by-c=0 (式1)
である、
と教わります。

この一般形により、
x=1
という直線もあらわすことができるからです。

以下で、直線の式を(式1)で表すことで得する他のメリットを考えます。

(直線の方程式の一般形の持つ意味)
この式1を少し変形した式:
ax+by=d (式2)
を考えます。
ここで、右辺にdの二乗を使ったのは、
この式2の全ての文字定数と変数(a,b,x,y,d)に長さの「次元」を持たせて、
式に、次元の色合いを付けるためです。

式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。
これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。

【直線の方程式はベクトルの内積の式です】
 下図のように、直線の式1の座標値xとyの係数の作るベクトル(a,b)は、直線に垂直である。
【直線の方程式1は(x,y)位置ベクトルの単位ベクトルvへの射影の長さが一定の関係をあらわす式である】
上図のように、点Z又は点Pの、単位ベクトルvの方向への射影の長さがあらわされる。
 そのため、点Pの、式1の直線への距離は、以下の式5で計算でき、射影の長さの差であらわされる。

リンク:
ベクトルの視点で見える直線の式の意味
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