ベクトルによる円周角の定理の確認

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ＡＢＣと外接円の中心Ｄがある。この三角形の頂点Ａが外接円上を移動しても頂角Ａの角度が変わらないこと（円周角の定理）を確認せよ。

（注意）円周角の定理の方がベクトル計算の種々の定理の基礎になっていて、ベクトル計算は円周角の定理等の結果と考えます。そのため、ベクトル計算では、円周角の定理を確認できても、証明ではないと考えます。

【一番簡単な確認】

ベクトルの計算で外心の高さが式１で与えられる。
そして、
ベクトルの計算で外接円の半径Ｒは式２で与えられる。
式１と式２を使うと、


この式３により、頂点Ａが移動しても右辺の値が変わらない。これは、式３の左辺に余弦であらわされている角度Ａが変わらないことを意味する。
（確認おわり）

（補足）
　この式３の関係は、ベクトルだけを使って式１を導き出し、次に、ベクトルだけを使って式２を導き出したことでようやく導き出された関係です。しかし、式３は、高校１年で円周角の定理を図形で証明する過程で、図形の関係から容易に導き出されます。
　問題を楽に解くという観点では、高校１年での図形の証明による方法が一番楽です。そのため、ベクトルの係わる問題が出題されても、許される限りは、高校１年での図形の証明方法を使うようにしましょう。

【苦労する解き方】
　この円周角の定理を、準備無く解く苦労する解き方をした例を、ここをクリックした先に書きました。

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