《条件付き確率とは》
事象Aと事象Bが独立していない、事象Bの起き方が事象Aが起きることに影響される場合は、
事象Aが起き、かつ、事象Bが起きる確率は以下の式であらわせる。
Aかつ Bの確率＝
＝（Aが起きる確率）×（Aが起きた場合においてBが起きる確率）
＝P(A)×PＡ(B),
とあらわす。
ＰＡ(B) は、｛Aが起きたという条件を前提条件にして、その条件が成り立つ場合において、Bが起きる確率、という条件付き確率｝
をあらわす。
条件付き確率とは、発生し得る全事象のうち、一部の事象の集合に事象の範囲を制限した場合の、その事象の集合の範囲内での所定の事象の発生確率が「条件付き確率」である。
その事象の集合の範囲を規定する条件が、条件付き確率における「条件」である。
「サイコロの目が４以上であった場合において」～といった問題における「サイコロの目が４以上」が条件です。
「サイコロの目が、４以上であると言える５の目が出た場合において」～といった問題においては、定まった条件「サイコロの目が５」こそが条件です。
ここで、以下の用語の定義をハッキリさせておく。
「事象の排反」は，
「ある試行において、一方の事象が起こったときに
他方の事象は決して起こらない」ことである。
「試行の独立」は，
「2 つの試行が互いに影響を及ぼさない」ことであり，
「ある試行が他の試行とお互い影響しない」
ということである。
これに対して
「事象の独立」は、
「試行の結果として，起こりうる事象が、お互いの起こり方が他方に影響を与えない」ということであり，
「どちらも起こっている」ことが前提になっている。
（補足）
事象の発生頻度を規定する条件（例えば正解を知っている司会者が好んで不正解を選択することで、不正解が選択される確率を上げるといった条件）は、事象の集合の範囲を制限する「条件」とは異なります。
直ぐ上の式と直ぐ下の式とが、より正しい式である。
（注意）確率ｐ(A)をn(A)/ｎ(U)で計算するときの全体事象の数ｎ(U)は、同様に確からしいこと（事象の連鎖の枝）の数を数えるので足りる。しかし、全体事象の数ｎ(U)を最小単位である事象の連鎖の糸の数で数えることもできる。そのように全体事象の数ｎ(U)を数える単位がいつも同じであるとは限らないので、注意する必要がある。
更に言うと、上の式らも、完全に正しい式であるとは言えない。
上の式らで、事象の数の比で計算する確率Ｐ(A)の値は必ず有理数になる。
しかし、以下の例のように、確率ｐ(A)の値が無理数になるので、事象の数の比の式では表せない確率Ｐ(A)もある。
ビュフォンの針
平面上に間隔ｄで平行線を引く。長さＬ（≦ｄ）の針を適当に投げたとき，針が線と交わる確率Ｐ(A)の値は、
である。（ここで、πは無理数3.14・・・である）
この確率Ｐ(A)は無理数になるので、
という式は、確率Ｐ(A)を定義する完全な式では無い。
そのため、条件付き確率をあらわす完全な式は、事象の数ｎ(□)を使わない式である。確率同士の演算によって条件付き確率を表す式が、完全な式である。
（覚える必要が無い公式）
条件付き確率について、以下の式が成り立つ。しかし、樹形図の方が使いやすいため、以下の条件付き確率の公式は使う必要がない。そのため以下の条件付き確率の公式は覚える必要がない。
Aまたは Bの確率=P(A)+(1-PB(A))P(B)
以上のように、これらの条件付き確率の公式には同じ事をあらわす表現が複数あり、
それが確率の計算を進める効率を悪くする。
そのため、以上の条件付き確率の公式は不便なので使わない。そのため覚えなくて良い。
（事象の独立の様子）
p(A∩B)＝p(A)p(B)となる、事象Ａと事象Ｂが独立な場合の樹形図は：
以下の図でｓ＝ａｂとなる場合である。
すなわち：
事象Aと事象Bが互いに独立な場合は以下の式が成り立つ。
【例題１】
ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち少なくとも一人は男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。
【解答】
「樹形図の基本ルール」のページのルールに従って、以下の樹形図を書く。
この樹形図を使うことで、
２人とも男である場合は、１人が男である場合の３つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／３である。
（解答おわり）
【例題２】
ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち年上の方が男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。
【解答】
この樹形図を使うことで、
２人とも男である場合は、年上の方が男の子である場合の２つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／２である。
（解答おわり）
例題２の問題の場合は、
条件付き確率の問題の「条件」を考える複雑さが何も無く、ある状況（年上の方が男の子である）になっている問題を解くだけの問題になっています。
そのため、以下の例題３で、後の状況が判明した場合（条件）に対し、最初の状況の確率を求めるという、複雑な条件付き確率の問題を考えます。
【例題３】
赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引くとします。
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率を求めよ。
【解答１】
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答１おわり）
【（例題３の）解答２】
樹形図は、事象の連鎖の糸を自由に枝に束ねて、しかも事象の発生順に従う必要も無く、再編成して樹形図を書くことができます。そのため、以下の樹形図を書いてこの問題を解くこともできます。
（この樹形図では、事象の連鎖の糸は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、ｓ／７です）
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答２おわり）
【（例題３の）解答３】
樹形図は、事象の連鎖の糸を自由に枝に束ねて、しかも事象の発生順に従う必要も無く、再編成して樹形図を書くことができます。そのため、以下の樹形図を書いてこの問題を解くこともできます。
１回目が赤玉である事象を事象Aとし、２回目が赤玉である事象を事象Bとする。
（この樹形図では、事象の連鎖の糸は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、１／５６です）
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答３おわり）
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事象Aと事象Bが独立していない、事象Bの起き方が事象Aが起きることに影響される場合は、
事象Aが起き、かつ、事象Bが起きる確率は以下の式であらわせる。
Aかつ Bの確率＝
＝（Aが起きる確率）×（Aが起きた場合においてBが起きる確率）
＝P(A)×PＡ(B),
とあらわす。
ＰＡ(B) は、｛Aが起きたという条件を前提条件にして、その条件が成り立つ場合において、Bが起きる確率、という条件付き確率｝
をあらわす。
条件付き確率とは、発生し得る全事象のうち、一部の事象の集合に事象の範囲を制限した場合の、その事象の集合の範囲内での所定の事象の発生確率が「条件付き確率」である。
その事象の集合の範囲を規定する条件が、条件付き確率における「条件」である。
「サイコロの目が４以上であった場合において」～といった問題における「サイコロの目が４以上」が条件です。
「サイコロの目が、４以上であると言える５の目が出た場合において」～といった問題においては、定まった条件「サイコロの目が５」こそが条件です。
ここで、以下の用語の定義をハッキリさせておく。
「事象の排反」は，
「ある試行において、一方の事象が起こったときに
他方の事象は決して起こらない」ことである。
「試行の独立」は，
「2 つの試行が互いに影響を及ぼさない」ことであり，
「ある試行が他の試行とお互い影響しない」
ということである。
これに対して
「事象の独立」は、
「試行の結果として，起こりうる事象が、お互いの起こり方が他方に影響を与えない」ということであり，
「どちらも起こっている」ことが前提になっている。
（補足）
事象の発生頻度を規定する条件（例えば正解を知っている司会者が好んで不正解を選択することで、不正解が選択される確率を上げるといった条件）は、事象の集合の範囲を制限する「条件」とは異なります。
直ぐ上の式と直ぐ下の式とが、より正しい式である。
（注意）確率ｐ(A)をn(A)/ｎ(U)で計算するときの全体事象の数ｎ(U)は、同様に確からしいこと（事象の連鎖の枝）の数を数えるので足りる。しかし、全体事象の数ｎ(U)を最小単位である事象の連鎖の糸の数で数えることもできる。そのように全体事象の数ｎ(U)を数える単位がいつも同じであるとは限らないので、注意する必要がある。
更に言うと、上の式らも、完全に正しい式であるとは言えない。
上の式らで、事象の数の比で計算する確率Ｐ(A)の値は必ず有理数になる。
しかし、以下の例のように、確率ｐ(A)の値が無理数になるので、事象の数の比の式では表せない確率Ｐ(A)もある。
ビュフォンの針
平面上に間隔ｄで平行線を引く。長さＬ（≦ｄ）の針を適当に投げたとき，針が線と交わる確率Ｐ(A)の値は、
である。（ここで、πは無理数3.14・・・である）
この確率Ｐ(A)は無理数になるので、
という式は、確率Ｐ(A)を定義する完全な式では無い。
そのため、条件付き確率をあらわす完全な式は、事象の数ｎ(□)を使わない式である。確率同士の演算によって条件付き確率を表す式が、完全な式である。
（覚える必要が無い公式）
条件付き確率について、以下の式が成り立つ。しかし、樹形図の方が使いやすいため、以下の条件付き確率の公式は使う必要がない。そのため以下の条件付き確率の公式は覚える必要がない。
Aまたは Bの確率=P(A)+(1-PB(A))P(B)
以上のように、これらの条件付き確率の公式には同じ事をあらわす表現が複数あり、
それが確率の計算を進める効率を悪くする。
そのため、以上の条件付き確率の公式は不便なので使わない。そのため覚えなくて良い。
（事象の独立の様子）
p(A∩B)＝p(A)p(B)となる、事象Ａと事象Ｂが独立な場合の樹形図は：
以下の図でｓ＝ａｂとなる場合である。
すなわち：
事象Aと事象Bが互いに独立な場合は以下の式が成り立つ。
【例題１】
ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち少なくとも一人は男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。
【解答】
「樹形図の基本ルール」のページのルールに従って、以下の樹形図を書く。
２人とも男である場合は、１人が男である場合の３つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／３である。
（解答おわり）
【例題２】
ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち年上の方が男の子であるということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに１／２とする。
【解答】
２人とも男である場合は、年上の方が男の子である場合の２つの内の１つであるので、その条件付き確率＝１／２である。
（解答おわり）
例題２の問題の場合は、
条件付き確率の問題の「条件」を考える複雑さが何も無く、ある状況（年上の方が男の子である）になっている問題を解くだけの問題になっています。
そのため、以下の例題３で、後の状況が判明した場合（条件）に対し、最初の状況の確率を求めるという、複雑な条件付き確率の問題を考えます。
【例題３】
赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引くとします。
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率を求めよ。
【解答１】
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答１おわり）
【（例題３の）解答２】
樹形図は、事象の連鎖の糸を自由に枝に束ねて、しかも事象の発生順に従う必要も無く、再編成して樹形図を書くことができます。そのため、以下の樹形図を書いてこの問題を解くこともできます。
（この樹形図では、事象の連鎖の糸は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、ｓ／７です）
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答２おわり）
【（例題３の）解答３】
樹形図は、事象の連鎖の糸を自由に枝に束ねて、しかも事象の発生順に従う必要も無く、再編成して樹形図を書くことができます。そのため、以下の樹形図を書いてこの問題を解くこともできます。
１回目が赤玉である事象を事象Aとし、２回目が赤玉である事象を事象Bとする。
（この樹形図では、事象の連鎖の糸は、８×７＝５６本あり、１本の糸の太さは、１／５６です）
この樹形図を使うことで、
２回目が赤玉であったとき１回目も赤玉となる条件付き確率は、樹形図の枝の太さの比を以下の式で計算して求められます。
すなわち、その条件付き確率＝４／７である。
（解答３おわり）
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