ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式 ｆ を、次数の小さい方の多項式 ｇ で割り算して余りの多項式ｈ（多項式ｇより次数の小さい多項式）を求め、その余りの多項式ｈで次数の小さい方の多項式 ｇ を割り算する。
こうして余りの多項式を求めることで、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れて余りが０になった場合に、
式を割り切ることができた余りの多項式（次数が一番小さい）が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】
以下の多項式 ｆ と ｇ の最大公約多項式を求めよ。

【解答】

 この場合は、多項式 ｆ が、多項式 ｇ で割り切れましたので、多項式 ｇ が最大公約多項式です。
（解答おわり）

（補足１）
　多項式ｆと多項式ｇを足し合わせる計算をするのは、多項式ｆ＝０と多項式ｇ＝０の連立方程式の解を計算する処理と等価です。
すなわち：
ｆ(x)＝０，
ｇ(x)＝０，
の解は、共通因数の積の式の解です。
共通因数の積の式は最大公約多項式です。

（補足２）
　ユークリッドの互除法で、多項式を多項式で割り算していくと、最終的な余りが定数になります。
（１）その余り定数が０の場合は、その０を余りにするように、多項式を割り切った式が、最大公約多項式です。
（２）その余り定数が０で無い場合は、最大公約多項式は存在しない。あえて言えば、最大公約多項式は「定数」である。

【例題２】
以下の多項式 ｆ と ｇ の最大公約多項式を求めよ。

【解答】

多項式 ｆ を、多項式 ｇ で割り算して余りの式＝２ｈを得ました。
次に、 多項式 ｇ を、多項式 ｈ で割り算します。

この場合は、多項式 ｇ が、多項式 ｈ で割り切れましたので、多項式 ｈ が多項式 ｆ と多項式 ｇ の最大公約多項式です。
（解答おわり）

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