【問題】 以下の５つの高次多項式を因数分解した式がある。
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。
（式５の解き方については、ここをクリックした先のページに解答を書きました）
（コメント）この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」（上野 健爾（著）岩波書店）
から引用しました。
「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
後半の内容は、「群論」が説明されています。
（本ブログによるエピソード）
1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。（２１歳）
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。
リンク：
高校数学の目次
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。
（コメント）この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」（上野 健爾（著）岩波書店）
から引用しました。
「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
後半の内容は、「群論」が説明されています。
（本ブログによるエピソード）
1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。（２１歳）
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。
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x^8 - 40 x^6 + 352 x^4 - 960 x^2 + 576 = 0 の一つの解をαとする。
返信削除● この時,他の解 は αの 7次以下 の 多項式 gj[α]∈Q[α] で表されると少女 A.
実際に 多項式gj[α]達の 導出方法を明記し 導出願います；
■ 1/α の 分母の有理化を 多様な発想で願います；
▲ 二重根号 解 が 在れば 「はずして下さい」
返信削除Q係数既約3次方程式 f(x)=0 の解をαとする.σ[α]=-α^2+3*α+1 とする。
f(x) の ガロア群 が 易しい {σ,σ^2, e }(盥回し) のとき,
〇 f(x) を 求めて下さい；
↓の 早稲田に 倣い 【獲た f(x)=0 の解達を 亘り 尽す】
■ g[α]=(a*α+b)/(c*α+d) ■ を 求めて下さい;
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
早稲田の http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/17/w09-21p.pdf#page=3
を 解くと 【解達を 亘り 尽す】■ g[α]=(-1)/(α+1) ■ が
なんと 与えられている! こと が 判明す。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
日本経済新聞社は、2017年度大学入試センター試験と、東京大学など主な国公立大学の２次試験、早稲田大学、慶應義塾大学など私立大学の入学試験について、問題・解答・分析を速報します。
解答と分析は、河合塾の協力を得てお伝えします。
だそうで 上の pdf は 消え去る のかも 知れぬ。
任意の正の実数 x, y, z について
返信削除Sqrt[x] + Sqrt[y] + Sqrt[z] <=
K*Sqrt[Sqrt[3] x + Sqrt[2] y + z] を満たす Kの最小値kを求めよ;
kのQ上の最小多項式f(x) を求めて, そのガロア群をお願い致します;
返信削除少女 A が 【解達を 亘り 尽す】 模倣犯になり ↓問を 創作した;
(1) 5次方程式 x^5+x^4-4 x^3-3 x^2+3 x+1=0 の 解をαとし
σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 を 定義するとき
αを通る 群 の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]],σ[σ[σ[σ[α]]]] }
は σ[σ[σ[α]]] 達を求め 5次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います;
(2) σ[α]=-α^4-α^3+3*α^2+2*α-1 と 少女A が 明記していますが
導出法を 忖度し 赤裸々に 晒して 下さい;
---------- 以上 再掲---------------------------------------------
上の 少女 A に 倣い;
5-1 次方程式 x^4+x^3-6 x^2-x+1=0 の 解をαとし
巧く αの3次以下の式 σ[α]=__________________∈Q[α] を 定義し
αを通る 群 の 軌道 {α,σ[α],σ[σ[α]],σ[σ[σ[α]]] }
は σ[σ[α]] 達を求め 5-1 次方程式の【解達を 亘り 尽す】ことを 証明願います;