双対曲線を求める問題（２）

【問】

上の式１があらわす曲線の双対曲線を求めよ。

（コメント）この問題は大学の数学科に入学した学生用の問題です。そのため、この問題は、医学部をめざす受験生も、無視してください。

【解答】

 この曲線１’に点（ｘ，ｙ）で接する直線を、以下の式２であらわす。

式１に式３を代入してｙを消去した式４を求める。

式３のあらわす直線が式１のあらわすグラフに接するので、
式３を式１に代入してｙを消去して得たｘの方程式の式４の解は、
直線とグラフの交点のｘ座標が、直線がグラフに接する事を意味する、重根のｘ座標の解が得られるハズである。

その重根をｋとすると、式４を因数分解した式には（ｘ－ｋ） の２乗の式を含む。

そのため、式４を微分しても、なお、（ｘ－ｋ）が消えずに残る。
式４を微分した式で、（ｘ－ｋ）を持つ以下の式５を計算する。

　この式５と式４とをユークリッドの互除法で計算して式の余りを計算していく。
　その計算により、その式４と式５の共通因数（ｘ－ｋ）が余りで計算できる。
　ユークリッドの互除法では、最終的に、Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２の式であらわされる定数の式が得られる。
　その定数の式は、共通因数（ｘ－ｋ）で式４と式５を割り切った余り＝０を表す式である。
すなわち、
その定数を表すＵ_０，Ｕ_１，Ｕ_２の式＝０
である。
この式が、求める双対曲線の式である。
（Ｕ_０，Ｕ_１，Ｕ_２）が、射影空間での、双対曲線の座標（Ｚ，Ｘ，Ｙ）をあらわす。

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