２つの多項式が共通因数を持つ問題

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式 ｆ を、次数の小さい方の多項式 ｇ で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 ｇ を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】
以下の多項式 ｆ の方程式１と多項式 ｇ の方程式２が共通の根を１つ以上持つように定数ａの値を定めよ。

（解答の方針）
　この問題で、多項式 ｆ の方程式１と多項式 ｇ の方程式２が共通の根を持つということは、多項式 ｆ と多項式 ｇ が共通因数（ｘ－ｕ）を持つことを意味する。
　共通因数を持つ２つの多項式にユークリッドの互除法を適用すると最終的に定数項になる余りが０になる。
（最後に式を割り切ってその余り０を得る原因の多項式が最大公約多項式です。）

【解答】
　先ず、多項式 ｆ を多項式 ｇ で割り算して余りの多項式 ｈ を計算する。

次に、多項式 ｇ を多項式 ｈ で割り算して余りの定数項 ｋ を計算する。

多項式 ｆ と ｇ が共通因数を持つ場合は、最後に計算した余りの定数項 ｋ は０になる。
よって、以下の式が成り立つ。

（解答おわり）

（補足）
　この計算の式３であらわされる多項式 ｈ が最大公約多項式です。
この最大公約多項式は、ａの値に従って以下の式６になる。

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