指定された複数の解を持つ高次方程式

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式 ｆ を、次数の小さい方の多項式 ｇ で割り算して余りの多項式を求め、その余りの多項式で次数の小さい方の多項式 ｇ を割り算する。
こうして、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れた場合に、その最小の次数の式が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】
　以下の多項式 ｆ の方程式１が、式２の２つの解を持つように定数ａとｂの値を定めよ。

（解答の方針）
　式２の２つの解を持つ２次の多項式 ｇ を作ると、多項式 ｆ が多項式 ｇ で割り切れる。それで、その様に割り切れる条件を求めれば解が得られる。

【解答１】
　先ず、式２の２つの解を持つ２次の多項式 ｇ を作る。

 多項式 ｆ を多項式 ｇ で割り算して余りの多項式 ｈ ＝０　になる条件を求める。

多項式 ｈ ＝０　になる条件を求める。

（解答おわり）

【解答２】
　この問題は、式２の２つの値をそれぞれ式１に代入して２つの式を作り、その２つの式を連立して解くことができる。
（この計算方法の方が一般的な解き方であるため、この計算方法を先に書いた方が良かったかもしれません。）

（１） 先ず、第１の解を式１に代入して、計算して式６を作る。

（２） 次に、第２の解を式１に代入して、同様に計算して式７を作る。

 式６と式７を連立してａとｂの値を求める。

 （解答おわり）

（補足）
　解答２の方が一般的な解き方ですが、解答１の方が楽に計算できました。
　この種の問題を解く場合は、解答１の解き方を、計算が楽になるのでお勧めします。

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