曲線同士が接する条件は点の座標の解の重なり

「微分・積分」の勉強

（１）なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
（２）接点の座標の計算だけで２曲線の接触を判定する場合は、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。

【問１】放物線ｙ＝ｘ^２／４と円ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１は接するか？

（方程式が重根を持つかで解析する方法） 
放物線　ｙ＝ｘ^２／４　　（式１）
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
この２つの図形は、（０，０）で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線　ｙ＝０　（式３）
であることが明らかである。
 
実際に、式１の放物線と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
０＝ｘ^２／４
ｘは０となる重根を持ち、式１の放物線は式３の接線と（０，０）で接する。
 
次に、式２の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ^２＋（０－１）^２＝１
ｘ^２＝０
ｘは０となる重根を持ち、式２の円は式３の接線と（０，０）で接する。
 
【この問題で注意する点】
　曲線同士が接する条件は、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけない。
 
【解答】
式１の放物線と式２の円の方程式を連立させる。
放物線　ｙ＝ｘ^２／４　　（式１）
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
式１から、
ｘ^２＝４ｙ　（式４）
式４を式２に代入してｘを消去する。
４ｙ＋（ｙ－１）^２＝１
ｙ^２＋２ｙ＝０
ｙ（ｙ＋２）＝０　（式５）

　接点（ｘ，ｙ）が多重の解を持つかどうかはｘ座標も確認しないといけない。
　上の計算で得た式５に式４を代入して、ｘ座標であらわした以下の式６に書き直す。
（ｘ^２／４）（ｘ^２／４＋２）＝０　（式６）
（ｘ^２）（ｘ^２＋８）＝０　（式７）
（ｘ^２＋８）≠０　なので、
ｘ^２＝０　（式８）
が得られる。
式８から、ｘの値が重根の値０を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」。
（解答おわり）

（補足）
　この例題のように、曲線の接触の確認には、接点（０，０） の ｘ 座標が重根になるのであって、重解の２点のｙ座標は同じになるため、 ｘ 座標が重根になる事を確認しなければならない。

（注意）
　ここで、この問題のグラフの ｘ 座標を、
ｔ ≡ ｘ^２
で定義されるｔ座標を使い、 ｔ，ｙ 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
ｔ ≧ ０，
（式１）→　ｙ＝ｔ／４　　（式１ｂ）
（式２）→　ｔ＋（ｙ－１）^２＝１　（式２ｂ）
　この場合は、式２ｂに式１ｂを代入すると、
ｔ＋（（ｔ／４）－１）^２＝１，
１６ｔ＋（（ｔ－４）^２＝１６，
ｔ^２ ＋８ｔ＝０，
ｔ（ｔ＋８）＝０，
ｔ＝０
このように、ｔ座標の解も重根を持たない。
　それでは、２つのグラフが接しないという解になってしまう。
　一方、与えられた２つのグラフの ｔ，ｙ 座標系に写像した２つのグラフは、下図のようになり、この２つのグラフは接しない。

よって、 ｔ，ｙ 座標系では、この２つの曲線は接しないという結論は正しい。

　２つのグラフが接するという事は、 ｘ，ｙ 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。

（結論）
　曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、（ｘ，ｙ）の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。

（補足:曲線が接するか否かの現象を保つ変数変換の条件）
《交差している２つのグラフが、変数変換によって互いに接する２つのグラフに変わる例：変数変換をするときに注意すべき変数変換の条件》

上図のように、変数ｔの関数ｆ（ｔ)とｇ（ｔ）との２つの関数値をＹ＝ｆ（ｔ）、及びＹ＝ｇ（ｔ）とする。
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
　このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。

変数ｔをこのグラフの関数であらわす媒介変数Xを使うと、
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ^２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ^２／２
になる。

この様にXY座標平面上では、互いに接する２つのグラフに変換されてしまった。
　すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。

　ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。

（補足）
　以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式８が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
また、以下のグラフの接点Ａを求める場合：

このグラフの接線の傾きｋを求める方程式を、重解を利用して得る計算方法の見通しが悪いです。

　このような接点の判定の不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、後のページの例題で例示する。

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