楕円に円が接触する問題

数Ⅲ　「いろいろな曲線」
エクセル表計算ソフトの勧め

楕円の式は数Ⅲで学びます。
回転した楕円の式もあらわせます。

下図は、楕円のグラフと円のグラフをエクセル表計算ソフトを使って、散布図グラフであらわしたグラフです。

　この２つの図形の接触の有無を数式処理で判定するのは難しいですが、エクセル表計算ソフトを使って、散布図グラフであらわし、近似計算でグラフが接触する条件を求めることができます。

　とにかく楽に問題を解く方法を探すのが「数学の心」 なので、
エクセル表計算ソフトを使えば問題を解くのが楽になるなら、
そのソフトを大いに使うべきです。

　上の円の中心のＹ座標＝ａ を少しづつ変えて、楕円に円が接触する場合の円の中心のＹ座標＝ａ を求めてみます。

　この様に、エクセル表計算ソフトを使って、
楕円に円が接触する場合が、
ａ＝３
の場合であることを求めることができました。

　この問題は、解のａが簡単な有理数になるように作りました。

円の寸法を定めてから、解のａを計算しようとすると：
（１）図形が交差する条件を表した４次方程式を書いて、
（２）次に、図形が接する条件を表した３次方程式を書いて、
（３）両方の方程式が共通する解を持つものとして、ユークリッドの互除法で、順次に方程式の変数ｘの次数を下げていき、最後にｘの次数が０の定数をあらわす、 ａ のみの式を求める。
（注目点）両方の方程式が共通するｘの解（ｘ＝α）を持つ場合は、ユークリッドの互除法で計算する式が（ｘ－α）で割り切れ、得られるｘの次数が０の定数の式（ａのみで表した式）は０でなければならない。それによりａを求める方程式が得られる。

　この方法で ａ の条件をあわらす方程式を計算するのは、（３）の計算をしているうちに、ａの式がどんどん複雑になって、とても処理しきれない、大変難しい問題でした。
　それでも、エクセル表計算ツールの助けも借りて無理やり計算した結果、最後に、以下の ａ のみの式を展開した形の複雑な式が得られた。その複雑な式を因数分解すると以下の式になった。

　この式の解は、何と、全てが、円が楕円に接する場合の ａ の値をあらわしている。

　それに対して、円の寸法を定めずに、
（１）図形の交点Ａを定める。
（２）Ａ点での接線の傾きを求める。
（３）そのＡ点で接する円の寸法と円の中心座標を計算する。
方法ならば、スムーズに計算が進みます。

問題は、易しく解ける方が良いです。

上の円の半径は、そうして定めました。

交点Ａの座標も、楕円の式の上の有理数解を見つけて、問題を簡単にしました。
交点Ａの座標は
Ａ（１／２，３／２）
です。
このとき、
Ａ点で接する円の中心のＹ座標
ａ＝３
が求められました。
最後に、
円の半径ｒの二乗が５／２
と定めることができました。

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