２変数の３つの方程式の互除法で問題を解く

（３つのグラフの交差点の重なりの有無の判定問題）

【難問】
　以下の３つの式であらわされる３つのグラフの全てが通る点が存在するか否かを判定せよ。

【解答の方針】
　先ず、この問題のグラフを描いてみます。
すると以下のグラフが得られます。

　このようにグラフを描くと３つのグラフ全てが通る点は１つも存在しないことがわかります。
　この問題は難問ですので、この図を描けたら、
「図から、３つのグラフ全てが通る点は１つも存在しないことが分かる」
と解答しておきます。

　この問題を解く時間的余裕がある場合は、この問題が含む以下の落とし穴に注意しましょう。

（１）どれか２つのグラフの交点を求めて、その交点を残りのグラフの式に代入して、その計算結果が式を満足しないことを確認する方法が考えられます。
　しかし、この問題は「難問」として作られているので、グラフの交点を計算するためには４次方程式を解かなければならない。そして、１つの交点が計算できても、残りの交点は難しい無理数の式でしか解けない。
　その解は、少なくとも３次方程式以上の解の公式を使わないと交点が計算できない。その解の公式は複雑なので、それを知っていても、その公式を使っている間に試験時間が終わってしまう。
　この問題はそういう問題です。

（２）この問題は、上図の様に図を描いて解くか、
又は、以下で説明する、
「２変数の３つの方程式の互除法」
を使うことで解けます。 

　１変数の２つの方程式が共通の解を持つ場合では、
その２つの方程式に、ユークリッドの互除法を適用して、
最終的に定数項になる余りが０になるか否かで、

共通の解を持つか否かを判定します。

（３）この問題でも、２つのグラフの方程式から変数を１つ消去して１変数の方程式（それは４次方程式になる）を求めることができる。

（３）－１：グラフ１とグラフ２の交点のｘ座標の方程式を求める。

（３）－２：グラフ２とグラフ３の交点のｘ座標の方程式を求める。

その２つの方程式にユークリッドの互除法を適用して、２つの方程式が共通する解があるか否かを判定できる。

しかし、その計算は４次式を作って、その４次式にユークリッドの互除法を適用するので、方程式の次数が高いので計算が複雑で苦労します。

（４）そのため、以下で説明する、

「２変数の３つの方程式の互除法」

を使うことで、

方程式の次数をさほど上げないままで計算する楽な計算により、共通解の有無を判定します。

【解答】

先ず、方程式同士を引き算して以下の式４を作ります。

この式４は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘｙを、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　次に、以下の式５を作ります。

この式５は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　次に、以下の式６を作ります。

この式６は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｙの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　また、方程式４、５、６の３つは、元の式１、２、３を置き換えた式の組であって、式１、２、３で解ける問題は、式４，５，６で解けます。
　次に、この式４，５，６に含まれる２次の項も、式同士を引き算して次数を下げます。その次数の下げ方は、以下の技術を使います。
　式４にｘを掛け算した式を作ると、その式は、式４，５，６が適用できる式に変わるので、以下の互除法によって、式の次数を下げることができます。

 こうして、式４，５，６を使った互除法で式の次数を下げて１次式９が得られました。
　式４，５，６の組を置き換える他の１次式を、
この式９にｘを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することで作ります。

　更に式９にｙを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することでもう１つの１次式を作ります。

 こうして、式４，５，６を置き換える３つの１次式の組が作れました。この３つの式は、式１，２，３の次数を１つ下げた式の組です。

 

この３つの式９、１１、１３の共通解が、 元の式１，２，３の共通解です。
しかし、この式９と式１３を式１１に代入すると、以下の式１４のように、式１１が満足されません。

そのため、この式９、１１、１３は共通の解を持ちません。
よって、式１，２，３は共通の解を持たない。
（解答おわり）

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