２変数の３つの方程式の互除法で問題を解く（２）

（３つのグラフの交差点の重なりの有無の判定問題）

【問】
　以下の３つの式であらわされる３つのグラフの全てが通る点が存在するか否かを判定せよ。

【問題の趣旨】
　この問題のグラフは以下のグラフです。

　このようにグラフを描くと３つのグラフ全てが通る点が１つあるらしいことがわかります。
　この問題は、問題を研究するために易しくしたので種々の方法で解けます。

　ここでは、この問題を、以下で説明する、
「２変数の３つの方程式の互除法」
を使って解きます。 

「２変数の３つの方程式の互除法」

を使うと、

方程式の次数をさほど上げないままで計算する楽な計算により、共通解の有無を判定することができます。

【解答】

先ず、方程式同士を引き算して以下の式４を作ります。

この式４は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘｙを、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　次に、以下の式５を作ります。

この式５は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｘの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　次に、以下の式６を作ります。

この式６は、他の方程式に足し合わせて、他の方程式に含まれる２次の項ｙの２乗を、ｘとｙの１次の項の和に変換する道具として使います。

　また、方程式４、５、６の３つは、元の式１、２、３を置き換えた式の組であって、式１、２、３で解ける問題は、式４，５，６で解けます。

　次に、この式４，５，６に含まれる２次の項も、式同士を引き算して次数を下げます。その次数の下げ方は、以下の技術を使います。
　式４にｘを掛け算した式を作ると、その式は、式４，５，６が適用できる式に変わるので、以下の互除法によって、式の次数を下げることができます。

 こうして、式４，５，６を使った互除法で式の次数を下げて１次式９が得られました。
　式４，５，６の組を置き換える他の１次式を、
この式９にｘを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することで作ります。

　更に式９にｙを掛け算した式に、式４，５，６を使った互除法を適用することでもう１つの１次式を作ります。

 こうして、式４，５，６を置き換える３つの１次式の組が作れました。この３つの式は、式１，２，３の次数を１つ下げた式の組です。

この３つの式９、１１、１３の共通解が、 元の式１，２，３の共通解です。この３つの式のグラフは以下の図のようになります。

 式９、１１、１３の解を求めると、以下の通り計算でき、３つの式に共通する解があります。

このように、式９、１１、１３は共通の解を持ち、
それは、式１，２，３の共通の解です。
（解答おわり）

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