円と放物線が接する条件

（２つのグラフが接する条件を求める問題）

【問】
　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。

【解１】
　先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。

次に、方程式１のあらわすグラフと方程式２のあらわすグラフの交点を計算します。
その解の交点が２重点になれば、それが、グラフが接する条件です。

　２つの方程式のグラフの交点を求めるために、
先ず、方程式同士を引き算して以下の式３を作ります。

　この式３は、式１と式２から作りましたが、
式２から得たｘの式を式１のｘに代入したのでは無く、
ｘの二乗を代入することでｘを消去したので、式の代入方法に無理があります。

このような場合に、
確実に計算をするためには：
この式３を得た時点で、
式１と式２との連立方程式が、
式３ともう１つの式（式１を使うことにする）との連立方程式に変換されただけであるとみなします。

式３は２つの直線を合わせた式なので、式３のあらわす２つの直線の１つづつと式１のグラフが交わる点を計算し、その解が、式１と式３の解です。

（注意）
「式３が重根ｙ＝－２を持つのがグラフが接する条件だ」
と考えることは、
条件が合えば、そう考えても良いが、
この問題の場合は、
式１ によって、
－１≦ｙ≦１
なので、ｙ＝－２となり得ない。
そのため、この問題では、ｙ＝－２となる重解は存在しない。
　（注意の補足）
　変数ｙの重解で求められる接点は、グラフがＸ軸に平行で無い部分の接点に限られています。これは、グラフの変数ｙでの微分を利用して接点を求める場合に、グラフのＸ軸に平行な部分は変数ｙでは微分できないので、接点が求められないのと同じ現象です。

式１と式３のグラフの交わる点の解が２重点を持つ（グラフが接する）場合が、上図から、以下の点として求められます。 
（ｙ座標の解は１つで、ｘ座標の解は２つの解が重なった重解）

よって、グラフが接するｋの条件は、
ｋ＝±１
です。
（解答おわり）

（補足１）
　上に記載した解答で、式４ａ以降の解答の部分では、図から接点の解を求めているので、方程式を使って解を求める計算のルールに違反していると考え、解き方に納得できない人は、式４ａ以降を、以下の様に解くこともできます。

（式４ａ以降の解の置き換え）
　式１と式３のグラフの交点のｙ座標は、以下の式４であらわされる。

式４に、式２を変形した式２’を代入して、交点のｘ座標を求める式を得る。その式を以下の様に変形する。

これで交点のｘ座標の式が得られた。
この式から、交点のｘの値の数が２つの場合と、ｘの値が１つになる、交点が重解になる場合を判別する判別式Ｄが以下の式６である事がわかる。

（この様に、方程式の解が重解になる判別式Ｄの求め方は、先ず、どの点とどの点が１つの点になって重解になるかをグラフから見つけます。次に、その点が重解になる条件の式を求めます。その式が重解の判別式です。）

この判別式６を式７に変形する。

この式７に等価な連立方程式８と９を得る。

この式９を、以下の式１０に変形する。

この式１０は式８を満足する。
そのため、式１０は、連立方程式８と９を満足し、それゆえ、式７を満足する解である。 
（解答おわり）

（補足２）
　以上の計算における曲線の接触の判定の計算は：
「この式４ａ（あるいは４ｂ）で得られた、
ｘ^２＝０
という式が得られることで、
それにより正しく重解の存在を判定できるのか？」 
という疑問が湧くという、
接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。

交点の重解の判別式Ｄについても、上の計算で求めた式６の判別式Ｄの様に、決まった形が無く、方程式事に判別式Ｄを導き出す必要がある問題があった。

また、以下のグラフの接点Ａを求める場合：

このグラフの接線の傾きｋを求める方程式を、重解を利用して得る計算方法の見通しが悪いという問題がある。

　このような接点の判定の不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、後のページの例題で例示する。

【解２】
　この問題は、以下の様に図で考えて、図で答えを求めると簡単に解けます。
　先ずは、下図のようなグラフを描いて、問題の見通しを良くしてから問題を解きます。

次に、方程式１のあらわすグラフと方程式２のあらわすグラフの交点を計算します。
　２つの方程式のグラフの交点を求めるために、
先ず、方程式同士を引き算して以下の式３を作ります。

式１と式２との連立方程式が、
式３と式１との連立方程式に変換されたと考えます。

式３を以下の様に解きます。

この式のグラフと式１のグラフの交点が、式１のグラフと式２のグラフの交点と同じ点である関係を以下の図であらわす。

式３は２つの直線を合わせた式なので、式３のあらわす２つの直線の１つづつと式１のグラフが交わる点が、式１のグラフと式２のグラフの交点の解です。

式１のグラフと式２のグラフが接する場合は、図から、以下の２つの場合であることがわかります。

そのため、この２つの場合のｋの値を以下の様にして求めます。

 これが、場合１の解である。

これが、場合２の解である。
（解答おわり）

（補足３）
　この解２の解き方に対しては、解２の様に、方程式から答えを導き出さずに、図形から解を求めてしまうのはルール違反である、と考える人もいるかもしれません。
　しかし、方程式を解くどの解き方においても、どうしても、図形を考えて問題を解く作業が含まれます。どうしても、図形による考察が避けられないので、いっその事、使える解き方（図形によって解を求める）は何でも使って問題を解いて良いと考えます。

　また、本当に難しい問題を解くときには、方程式の変形だけで解こうとすると解くのが難しくなり、図形で考えて解く解き方を併用して問題を易しくして解きます。
　そのように、結局は、図形から解を得て問題を解くことになるので、いつでも図形から解を得て問題を解いても良いと考えます。

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