球の体積を積分で求める

「微分・積分」の勉強

（１）積分：
　以下の問題を考えます。
【問題】 
　なぜ、半径 ｒ の球の体積Ｖは、
体積Ｖ＝（４π／３） ｒ^３
なのか。

　この問題は、以下の様に解くことができます。

先に、半径 ｒ の球の表面積Ｓは、
表面積Ｓ＝４π ｒ^２
であることを求めておきます。

　次に、以下の図のように、球を玉ネギ状に、厚さΔｒの皮の集合と考えます。
その１つの皮の体積を計算します。 
皮の厚さをΔｒとします。

球の皮の厚さΔｒあたりの皮の体積ΔＶが求められました。
ΔＶ＝４π ｒ^２Δｒ
この皮の体積の総和が球の体積Ｖです。
Ｖ＝４π（（Δｒ）^２Δｒ＋（２Δｒ）^２Δｒ＋（３Δｒ）^２Δｒ＋・・・）
＝ ４π（Δｒ）^３ （１＋２^２＋３^２＋４^２・・・＋ｎ^２）  
＝ ４π（Δｒ）^３ ｎ（ｎ＋（１／２））（ｎ＋１）／３
→ ４π ｒ^３／３
（ ｒ＝ｎ（Δｒ））
 （この計算で用いた２乗の数列の和の式はここをクリックした先のページにあります

　これから、半径 ｒ の球の体積Ｖは、
体積Ｖ＝（４π／３） ｒ^３
になることがわかりました。

　この様に、要素に分割して総和を計算することが「積分」をするということです。

【別解】
以下の様に、直接に球の体積を求めることもできます。
先ず、半径１の球の体積を計算します。

これで、半径１の球の体積が計算できました。
　これから、半径 ｒ の球の体積Ｖは、
体積Ｖ＝（４π／３） ｒ^３
になることがわかりました。

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