困った時に使う部分積分法

「微分・積分」の勉強

（６）積分の知識：
　「部分積分法」
（「微分積分学入門」著者：横田 壽）に、部分積分法が書いてあります。

3.3 部分積分法(integration by parts)
置換積分法を用いて．かなりの積分が求められるようになりました．しかし，置換積分法でも手に負えないものがあります．

　ではどうすればいいのでしょうか．そこで，置換積分を用いても不定積分が求められないとき，最後の手段として用いるものに，部分積分法(integration by parts) があります．

定理3.5 (部分積分法)
f(x), g(x) が連続であるとき，次の式が成り立つ．

この式１が部分積分法の公式です。
（注意）
　この式１の形が正確な部分積分の公式ですが、普通は、関数（ｆ・ｇ）の積分定数Cは省略して書かない。しかし、この関数の積分定数Cを省略して計算してはいけない問題もあります。

　この式１は、以下の式２の形にして使うことができます。

【例題１】

 この積分を計算します。
（解答はじめ）
先ず、以下の媒介変数 ｆ を導入します。

式２の部分積分の計算をします。

 こうして、積分ができました。
（解答おわり） 

【問題１】
以下の定積分を計算して、
ｎが奇数の場合の定積分の公式と、ｎが偶数の場合の定積分の公式を導け。

この定積分の公式の求め方は、ここをクリックした先にあります。

【解が初等関数にならない積分もある】
　部分積分しても解が得られない、解が初等関数で表されない積分もあるので注意が必要です。 

（不定積分が初等関数で表せる見通しの立て方）
【事例１】
xsin(x)の不定積分を部分積分する場合に、以下の簡易図を書いて、不定積分が初等関数で表わせる見通しを立てます。
xcos(x)という関数が、
(1)三角関数のcos(x)を微分して-sin(x)にして-xsin(x)という項が得られる。
(2)xを微分して定数にしてｘが消えてcos(x)という項が得られる。
(3)sin(x)を微分するとcos(x)という項が得られる。
《積分が初等関数で表せる見通し》
(3)が(2)の項を打ち消す事ができる。

そのため、xsin(x)は不定積分が初等関数で表わせます。

【事例２】
　以下の図の左側の各関数を微分すると、右側の２つの関数になる。
《積分が初等関数で表せる見通し》
　図の左側の関数の組み合わせが、微分関係で互いが生んだ微分で得られる２つの項の１つを打ち消して、
残りの項だけを微分で得ることができる。

《事例２の研究》

という式を作ると、
この式を微分すると、

となり、係数だけが元の式とちがう、単純な関係があることが見えてきます。
　しかし高校数学では関数値が複素数になる関数は扱わないので、計算の準備段階において、この単純な関係を反映している以下の関係式を導き出しておいて、その式を積分の計算に利用するのが良いと考えます。


【事例３】
sin(x)/x
は不定積分が初等関数であらわせません。
《積分が初等関数で表わせ無い事を見通す》 
　図の左側の関数が、微分で得た項の１つを左側の他の関数で打ち消すと、右側の、打ち消すべき微分結果の項が増える。
その項を打ち消すために、更に左側の関数が必要になり、必要な関数が無限に必要になる。

そのため、
(1/x)sin(x)
は不定積分が初等関数で表わせ無い、
という見通しが立てられます。

【事例４】
　部分積分の公式の本質を用い、以下の様にして積分の見通しを立てつつ、不定積分しても良いとも思います。
【例題１】は、以下の様にして積分できます。

 この積分を計算する。

（解答はじめ）
先ず、以下の図の部分積分見通し図を計算用紙に書く。
log(x)が微分の結果の２つの項のうち１つで出てくる初等関数x(log(x))を考える。

その初等関数を微分して出きるもう１つの項が微分で得られる他の初等関数を考える。
こうして、積分の見通しを立てる。

次に、この部分積分見通し図から、以下の式を得る。

式１が分かれば、直ぐに、式２が分かる。
これにより、式２の右辺の積分が左辺の式で得られる。
（例題１の解答（その２）おわり）

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