双曲線の二接線の交点を求める

【問１】
　双曲線（ｘ^２－ｙ^２＝１）に対して、
接点ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた接線と接点ｂ（ｂ_１，ｂ_２）から引いた接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）を求めよ。

（参考）接点ａと接点ｂから引いた２つの接線の交点ｐを、双曲線の極線ａｂに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式１のｆ（ｘ，ｙ）＝０であらわす。

接点ａとｂとに、以下の式２と３が成り立つ。

双曲線の接線の公式により、接点ａとｂとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。

式４と５を連立させて、２つの接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）＝（ｘ，ｙ）を求める。

この式８であらわされるベクトルPと、ベクトルｍが平行である事が以下の計算で確かめられる。
　先ず、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを考える。

 （ベクトルの平行性の確認おわり）

この接線の交点Ｐの式を、以下の、双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式を使って更に変形する。
＜双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式＞

「この式１０の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式です。
これは、以下の図の直線が直交し、両直線の傾きの積＝－１となる関係を表す公式です。

（原点と、極ｐの共役点ｐ’と、弦の中点ｍの共役点は一直線上にあります）

式６を変形する。

（式の変形の補足）
以上の計算で分母を変換した計算は、以下の様に、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを使ってあらわした２重平行四辺形の面積の公式を利用した変形として覚えられます。 

（以上で、２重平行四辺形の面積の公式を使った）

この式１１に、公式１０を代入する。

次に、二重平行四辺形の面積の公式を使って式７を変形する。

この式１３に公式１０を代入する。

式１２と式１４をまとめる。

（解答おわり）

（補足）
　式１５は、２つの接線の交点Ｐの位置ベクトルは、先に確認した通りに、点ａと点ｂの中点ｍの位置ベクトルに平行であることを示している。

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