勉強しよう数学: ２次元ベクトルの合成の公式と分解の公式と２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理

【ベクトルの合成の公式】
直交するベクトルａとａ_vに関して、任意のベクトルｚに対して、以下のベクトルの合成の公式が成り立ちます。

【課題】
ベクトルｚと、単位ベクトルａとｂと、それらを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖを考える。

ベクトルｚは、以下の、ベクトルの分解の公式によって、単位ベクトルａとｂであらわせる。

このベクトルの分解の公式を導き出すことを課題として、その解の中で、ベクトルの合成の公式を使う。

（補足１）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

（解答１）
　ここで、ベクトルｚを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
以下の式でベクトルａとｂであらわされる単位ベクトルｓと、それに垂直な単位ベクトルｔを考える。

この単位ベクトルｓとｔでベクトルｚを分解する。

ここで、単位ベクトルｓとｔの各要素は以下の式で与えられる。

式４の中のベクトルの要素をこの式５から８で置き換える。

この式にベクトルの合成の公式を適用する。

こうして得られた式は、当初の公式とはちがうが、この式のベクトルａとｂをベクトルａ_ｖとｂ_ｖに互いに入れ替えた式も成り立つ。

よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
（解答１おわり）

（補足２）
　ここで、直交するベクトルｓとｔを単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖであらわし、それらのベクトルでベクトルｚを分解して計算すれば、最初に記載したベクトルの分解の公式が直接に求められる。

（１）ベクトルａとｂであらわした単位ベクトルｓとｔで分解した式から求められる式が、
ベクトルｚとベクトルａの積の項とベクトルｚとベクトルｂの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルｓとベクトルｔの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖであらわしたベクトルの分解の公式になり、
（２）ベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖであらわした単位ベクトルｓとｔで分解した式から求められる式が、
ベクトルｚとベクトルａ_ｖの積の項とベクトルｚとベクトルｂ_ｖの積の項に分けられ、ベクトルの合成の公式によってベクトルｓとベクトルｔの項が別のベクトルに集約する結果、
ベクトルａとｂであらわしたベクトルの分解の公式になった。

（解答２）
　回答１で定義した単位ベクトルｓとｔで、回答１と同様にベクトルｚを分解し、次に、ベクトルａの項とベクトルｂの項に分ける。

式９の中のベクトルの要素を式５から８で置き換える。

この式の中のベクトルｓとｔの式にベクトルの合成の公式を適用して１つのベクトルｚの式に統合する。

よって、最初に記載したベクトルの分解の公式が得られた。
（解答２おわり）

【図形で説明】
ベクトルの分解の公式は、以下の図であらわせる。

この図での三角形OZBの面積の三角形OAB面積の比の大きさのベクトルOA成分を計算している。ベクトルOBを水平線として考える。それらの三角形の面積の比は、その水平線上の点Zの高さと点Aの高さの比である。

（補足３）
　ベクトルｚをベクトルａと、それに垂直なベクトルａ_ｖに分解する式は、以下の式（Ｋ３）になる。
なお、式（K4)の形で、三平方の定理があらわせる。