２元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する

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▽連立方程式の解の公式（その３）

【問１】
以下の連立方程式を解く。

（解答その１）
この連立方程式は、以下のように定義したベクトルの内積であらわすことができる。

この連立方程式を解くと以下の解が得られる。

ここで、以下のように、ベクトルａに垂直で長さがａに等しいベクトルａ_ｖと、ベクトルｂに垂直で長さがｂに等しいベクトルｂ_ｖを考える。

このベクトルａ_ｖと、ベクトルｂ_ｖを使って、式５と６の解をベクトルであらわす。

この式７が式３と式４を満足することは、以下の式の計算で確かめることができる。

このように、式７は、式３と４を満足する、連立方程式の解をあらわす。
（解答おわり）

（解答その２）
　この問題は、ベクトルの分解の公式を使って解ける。
ベクトルの分解の公式は、以下の２つである。

このうちの公式Ｋ１に、式３と式４を代入すると式７が得られる。

この式７及び式７ｂが連立方程式１と２の解である。
（解答おわり）

【問２】
　ここで、以下の式８から１０を満足する連立方程式の解を変換する。

この連立方程式の解は式１１になる。
この式１１の解を変換する。

（式の変換の開始）
　先ず、式１０が成り立つので、以下の式１２が成り立つ。

すなわち、ベクトルａとｂの和のベクトルと、ベクトルａとｂの差のベクトルの内積が０になり、それらのベクトルが互いに垂直である。
（これは、以下の図のひし形の対角線の直交の公式である）

　ベクトルｚを、互いに垂直なベクトルの要素に分解することは容易にできるので、以下でその作業を行う。
　先ず、式１１の第１項を、その両ベクトルの要素に分解してあらわす。

　次に、同様にして、式１１の第２項を、両ベクトルの要素に分解してあらわす。

そして、式１１の第１項と第２項の和でベクトルｚをあらわす。

結局、ベクトルｚがこの式１３であらわされた。
（式の変換おわり）

（補足）
　この式１３は、以下のように考えると、納得できる。

（１）ベクトルａ_ｖと、ベクトルｂ_ｖは、それぞれ、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転させたベクトルとして定義されている。
（２）そのため、式１１のベクトルｚは、ベクトルｂ_ｖとベクトルａ_ｖの差のベクトルに平行になり、
（３）それは、ベクトルｂとベクトルａの差のベクトルに垂直である。
（４）そのベクトルｂとａの差のベクトルは、ベクトルａとｂの和のベクトルに垂直であり、
（５）結局、ベクトルｚは、ベクトルａとベクトルｂの和のベクトルに平行である。

【連立方程式の解の公式（その３）】
　連立方程式自体を１つのベクトル方程式（以下の式６）と見ると以下の、未知数ｓとｕを求める連立方程式の解の公式ができあがります。
（注意）
以下の式で定義するベクトルａとｂ（連立方程式の縦方向の係数群）は、先の連立方程式を解くために用いたベクトルａとｂ（連立方程式の横方向の係数群）とは全く異なります。

連立方程式１と２をベクトルの視点で見ると、式６のベクトル方程式をあらわしていると見ることができます。
　ここで、ベクトルａとベクトルｂと、それらに垂直なベクトルが下図のように描けます。

ベクトルａに垂直なベクトルａ_ｖと、ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_ｖを以下の式７と８であらわす。
（９）：ベクトルｂ_ｖと式６の両辺の内積をとると、以下の式９が得られます。
（１０）：ベクトルａ_ｖと式６の両辺の内積をとると、以下の式１０が得られます。

ここで、これらのベクトルに関して以下の式１１が成り立ちます。

結局、ベクトル方程式６であらわした連立方程式１と２の未知数ｓとｕが、上の式９と式１０で計算できる、
連立方程式の解の公式が導けました。 
（注意）
　ただし、式９及び式１０の分母が０になる場合は、これらの式で連立方程式の解をあらわすことはできません。 その場合は、解が無いか、又は、分子も０になる場合に無数の解を持ちます。

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