双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式と双曲線の極の座標の解の変換

【問１】
　双曲線（ｘ^２－ｙ^２＝１）に対して、
接点ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた接線と接点ｂ（ｂ_１，ｂ_２）から引いた接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）を求めよ。

（参考）接点ａと接点ｂから引いた２つの接線の交点ｐを、双曲線の極線ａｂに対する極と呼びます。

【解答】
双曲線の式を、以下の式１のｆ（ｘ，ｙ）＝０であらわす。

接点ａとｂとに、以下の式２と３が成り立つ。

双曲線の接線の公式により、接点ａとｂとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。

式４と５を連立させて、２つの接線の交点ｐ（ｐ_１，ｐ_２）＝（ｘ，ｙ）を求める。

（第１の解答おわり）

　この第１の解答の式（８）はこれ以上単純化できない、正しい解答です。

　この式８であらわされるベクトルPと、ベクトルｍが平行である事が以下の計算で確かめられる。
　先ず、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを考える。

 （ベクトルの平行性の確認おわり）

　式８の解答が、ベクトルｍと平行である事が分かりました。
　そのため、式８の解答を、ベクトルｍと平行である事が明らかな形であらわせる、異なる形でも表現できることを示すために、
以下で、この接点の第１の解答の式（８）を、以下の、
「双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式」
を使って更に変形してみます。

----＜双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式＞--------
先ず、以下の計算をします。
式（２）－式（３）：

「この式９の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の弦と、弦の中点ｍの共役点通過線の直交の公式です。
　これは、下図のように、双曲線上の弦を通る直線とその弦の両端の中点ｍに共役な点ｍ’と原点を通る直線が直交し、両直線の傾きの積＝－１の関係にあることをあらわしています。

--------双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式おわり-----------

----＜２重平行四辺形の面積の公式＞------
　ここで、もう１つの式１０で与えられる、２重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。（これは恒等式です）

この式１０の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
この式１０の公式は、以下の図の平行四辺形の面積をあらわすベクトルの外積の間の関係です。

 --------２重平行四辺形の面積の公式（外積表現）おわり------

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式）
　この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAvとBvを使って、以下の式であらわせます。

（９０度回転したベクトルを利用した面積の公式おわり）

（第２の解答への変換開始）
　問１の解答の式８であらわされる原点から極Ｐまでのベクトルは、弦の中点ｍの共役点通過線の直交の公式の式９によって、原点から中点ｍまでのベクトルに平行であることがわかります。
　そのため、以上の２つの公式を使って、問１の解答の式６から式８の式を、原点から中点ｍまでのベクトルに平行な式に変換します。
先ず式６を変形する。

以上の式の変形において、公式１０を導いて使いました。

（式の変形の補足）
　以上の計算で分母を変換するために導いて使った公式１０は、以下の様に、変換される前の式をベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを使ってあらわし、それに、それらのベクトルであらわした２重平行四辺形の面積の公式を利用して変形すると、スムーズの公式が思い出されて使い易いと思います。 

（以上で、２重平行四辺形の面積の公式を使った）

　式１１に、双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式９を代入する。

次に、式７を変形する。

この式１３に公式１０を代入する。

式１２と式１４をまとめる。

（第２の解答おわり）

（補足）
　式１５は、２つの接線の交点ｐ（極）の位置ベクトルは、点ａと点ｂの中点ｍの位置ベクトルに平行であることを示している。
また、式１５は、点ａと点ｂの中点ｍの位置が双曲線に近づけば、点ｐが中点ｍに近づくことを示している。

リンク：
複素数平面で双曲線の特徴を表現する
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