2円の交点を通る直線が全て求められるのか？

以下で、２円の交点を通る直線の全てを求めることができるか調べる。

【課題】２つの円、
（円１）　（ｘ－１）^２＋ｙ^２＝１　（式１）
（円２）　（ｘ＋１）^２＋ｙ^２＝１　（式２）
がある。この２つの円の交点を全て（この場合は座標原点のみ）を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の円の（式１）と（式２）の連立方程式の解が交点（この場合は座標原点）の座標になる。

この式１と式２をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

（調査研究の開始）
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
（直線３）　ａｘ＋ｂｙ＝ｃ　（式３）

（第１の計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（円１）　（ｘ－１）^２＋ｙ^２－１＝０　（式１’）
ｘ^２－２ｘ＋１＋ｙ^２－１＝０，
ｘ^２＋ｙ^２－２ｘ＝０　（式４）

（円２）　（ｘ＋１）^２＋ｙ^２－１＝０　（式２’）
ｘ^２＋２ｘ＋１＋ｙ^２－１＝０，
ｘ^２＋ｙ^２＋２ｘ＝０　（式５）

（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式４）＋ｎ（式５）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（ｘ^２＋ｙ^２－２ｘ）＋ｎ（ｘ^２＋ｙ^２＋２ｘ）＝０　（式６）
この式６を、式３と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式６と式３を比較し易いように、式６を変形する。
（ｍ＋ｎ）ｘ^２＋（ｍ＋ｎ）ｙ^２
＋（－２ｍ＋２ｎ）ｘ
＝０，　（式７）
直線の式３には、ｘ^２の項やｙ^２の項が無いので、上の式７もそれらの項の係数が０でなければならない。

（詳しくは、以下のように考える）
式７が式３と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
　　　　　　　　　＜式７＞　＜式３＞
ｘ^２の係数：　（ｍ＋ｎ）　　＝０，　（式８）
ｙ^２の係数：　（ｍ＋ｎ）　　＝０，　（式８と同じ）
ｘの係数：　（－２ｍ＋２ｎ）＝ａ，
ｙの係数：　　　　　　　０　＝ｂ，
定数項の係数：　　　　　０　＝－ｃ，

式８以外の式は未知数ａ，ｂ，ｃを定める式であって、ｍとｎを限定する式ではないので、ｍとｎを限定するのは式８のみ。
よって、
ｍ＋ｎ＝０　（式８）
この式８の条件を満たすｍとｎのどの組合せでも良い。
とりあえず、ｍ＝１、ｎ＝－１に決める。
その場合は、式７は、以下の式になる。
（－２－２）ｘ＝０，
－４ｘ＝０，
（－４）で式全体を割り算する。
ｘ＝０　（式９）
この式９が求める式３の形（を変形した形）の具体的式である。

（注意）この式９は、式４と式５を加えて得た式であるので、式１と式２の円の交点（座標原点）を通る。
しかし、図から明らかなように、円１と円２の全ての交点（座標原点のみ）を通る直線は、この式９だけでは無い。

（結論）
　式６の計算だけでは、円１と円２の全ての交点を通る全ての直線の式が得られないことがあることが分かった。

 （疑問）
　式６の計算によって、式４と式５を加え合わせるｍとｎの値をどの様に変えても、この式９の直線以外は得られないのだろうか、どこに見落としがあるのだろうか。

　この疑問への答えを考えた結果、以下の答えが得られた。

（疑問の解決）
　式９を、式４又は式５に代入すると、以下の式１０が得られる。
ｙ^２＝０　（式１０）
∴　ｙ＝０　（式１１）
式９と式１１を連立すると、
任意のａとｂに関して：
ａｘ＋ｂｙ＝０　（式１２）
すなわち、任意のａとｂに関する直線が、
円１と円２の全ての交点（原点のみ）を通る。

　こうして、式９を元の円の式に代入する計算をすれば、円１と円２の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

　この様に、式９を元の円の式に代入するという発想は、式９だけでは円の交点を通る全ての直線が求められていないという事が分かっているからこそ、発想できた。そのように解の全てが予測できなければ、この解には至らなかった。
（結論）
　以上の考察の結果、計算する際には、その計算で得られた解が全ての解であるかが分かるように、計算の見通しを良くする事がとても大切であることが分かった。
（計算の見通しを良くするにはベクトルで考える）
　式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて（整理して）考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

リンク：
高校数学の目次