交差する曲線の全ての交点を通る全ての直線

以下で、交差する曲線（直線も曲線の一種）の全ての交点を通る全ての直線を求める方法を調べる。

【課題】２つの曲線：
（直線１）　　　ｙ＝０　　（式１）
（放物線２）　　ｙ＝ｘ^２　（式２）
がある。この２つの曲線の交点を全て（この場合は座標原点のみ）を通る全ての直線の式を求める方法を調べる。

この課題の曲線１（式１）と曲線２（式２）の連立方程式の解が交点（この場合は座標原点）の座標になる。

この式１と式２をどの様に使えば、その交点を全て通る全ての直線の式を求めることができるかを調べる。

（調査研究の開始）
この課題は、以下の形の式を作る問題です。
（直線３）　ａｘ＋ｂｙ＝ｃ　（式４）

（第１の計算方針）
新しい直線の式を求めるには： 式１を、式２に代入すると、以下の式３が得られる。
０＝ ｘ^２ 
∴　ｘ＝０　（式３）
この式３は、新しい直線をあらわす式でもある。

式１と式３を連立すると、
任意のａとｂに関して：
ａｘ＋ｂｙ＝０　（式４）
が得られる。

この式４は、任意のａとｂに関する直線をあらわす式でもある。この式４は、式１の曲線と式２の曲線の全ての交点（原点のみ）を通る。

　こうして、式１を式２に代入する計算をすれば、式１の曲線と式２の曲線の全ての交点を通る全ての直線の式を求めることができることが分かった。

（第２の計算方針）
　式１と式２を重みを付けて足し合わせる計算をしてみる。
式２を変形する。
ｙ－ ｘ^２ ＝０ 　（式２’）
（式２’）ー（式１）：
０－ｘ^２ ＝０ 
ｘ＝０　（式３）
これによっても式３が得られる。
式１と式３を連立すると、
任意のａとｂに関して：
ａｘ＋ｂｙ＝０　（式４）
が得られる。

（補足）
　この事例の場合は、第２の計算方針によっても、全ての交点を通る全ての直線を求めることができた。
しかし、後で説明する他の事例「円と円の交点」の場合では、第２の計算方針によっては、全ての交点を通る全ての直線を求めることはできない。
　全ての交点を計算するには、先の図のような図を描いて答えを予測できるように計算の見通しを良くした上で、その答えが得られるように計算式を導く事が良いことが分かった。

（計算の見通しを良くするにはベクトルで考える）
　式と図形の計算式の見通しを良くするには、ベクトルの概念を使って、式をまとめて（整理して）考えることが効果的です。そのため、式と図形の計算の学習と並行して、ベクトルの概念も学んでいってください。

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