ひし形の対角線の直交の公式と２重平行四辺形の面積の公式

以下の「ひし形の対角線の直交の公式」は、このページの読者の心の隅っこのどこかに残れば良いと思います。ガチガチに覚えないようにして、数学を楽しんで欲しいと思います。
　読者が、この公式が必要になった時に、「たしか、そのような式がありそうな気がする」と思いだして、読者が自力でこの公式を導き出して使えたら良いと考えます。
（公式は全て、必要な時に自力で導き出して、それが使えれば良いと思います。）

【ひし形の対角線の直交の公式】
　下図のひし形ＯＡＫＢの２つの対角線ＯＫとＡＢが互いに直交することが、
以下の図の線分ＯＫの傾きが、線分ＡＢに平行な線分ＯＨの傾きの逆数×（－１）である、ことにより証明できます。

【公式の証明】
（ＯＡ）^２－（ＯＢ）^２：

ー１／（ＯＨの傾き）＝（ＯＫの傾き）
∴　ＯＫとＯＨは直交する。
∴　ＯＫとＡＢは直交する。
「この式６の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
ひし形の対角線の直交の公式です。
（ひし型の対角線の直交の公式おわり）

（補足）この公式を逆にして認識した方が良いかもしれない。
　ひし形の対角線が互いに直交することは幾何学的に証明できます。
　そして、この公式の逆の証明により、線分ＯＫと線分ＡＢが互いに直交する場合は：
ー１／（ＡＢの傾き）＝（ＯＫの傾き）
となる事が証明できる。
　なお、
ー１／（ＡＢの傾き）＝（ＯＫの傾き）
となる事も、

以上の計算をしないでも、幾何学的に証明できます。

【ひし形の対角線の直交の公式の応用】
ひし形の対角線の直交の公式は、以下のように、ベクトルの内積の式を変換する計算に使います。

上図のベクトルに関してひし形の対角線の直交の公式は、以下の式ａ１又はａ２であらわせます。

式ａ３のように、ベクトルの内積の式が、式ａ２を使って変換できます。
また、この式ａ３を使うと、以下の式ａ４であらわす、
任意の定数ｓで成り立つベクトルの内積の変換公式が作れます。

【２重平行四辺形の面積の公式】
　ここで、もう１つの式７で与えられる、２重平行四辺形の面積の公式も覚えて使いましょう。
（これは、ＯＡの長さとＯＢの長さが異なっても成り立つ恒等式です）

この式７の公式は、右辺から左辺を導く公式として覚えましょう。
　この式７の公式は、以下の図の２重の平行四辺形の面積の大きさの関係をあらわす公式です。
（この計算は、ベクトルの外積の計算であり、並行四辺形の面積を求める計算であるという意味を持ちます。）

 （２重平行四辺形の面積の公式おわり） 

この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAvとBvを使って、以下の式であらわせます。

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