余弦定理の式の値を具体的長さに関係付ける

余弦定理の式の値を具体的長さに関係付ける研究をした。
その結果を以下で報告する。

　上図の三角形ＡＢＣに対して、点Ｃを移動させて直角三角形を作る。すると、その直角三角形の辺の長さが、余弦定理の式にかかわる長さであることがわかった。

以上の計算の途中で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使いました。

　点Ｂを移動させて直角三角形を作ると以下の様になる。

この直角三角形の辺の長さも、余弦定理の式にかかわる長さである。

以上の２つの直角三角形の辺の長さを一緒にあらわすと、以下の図になる。

ここで、覚え易い形の以下の式が成り立っています。

これにより、余弦定理の式の値が具体的長さに関係付けられ、親しみ易くなりました。

（補足）
　また、これにより、ｂｃ・ｃｏｓＡのあらわす長さの積のバラエティが、以下の図の関係も含めて、とても多くなりましたので、それらの関係は皆成り立っている事を再認識しましょう。それにより、新しい事を覚える際に似ている関係を忘れる現象に抗って記憶をリフレッシュして、今までの記憶も維持できるようにしましょう。

（問題作り）
この研究の結果、以下の問題を作ることができました。

研究の結果、上図の、Ｃを頂点とする二等辺三角形のｃ_０とｂ_０が等しいので、明らかに、ｃ_０＝ｃ/(√２)です。
　そのため、以下の問題が作れます。
【問１】
　上の左の図の、Ｃを頂点とする二等辺三角形ＣＡＢの、点Ｂから辺ＣＡに下ろした垂線ＢＤ上の点Ｅを、∠ＡＥＣが直角になるように置く、そのとき、辺ＡＥ＝ｃ_０について、
ＡＥ＝ｃ/(√２)
であることを示せ。

（解答）

（解答おわり）
　以上の解答の計算の途中で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使いました。

（別解）
　三角形の辺の二乗の引き算の公式により以下の式１を得る。

（解答おわり）

　上のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使ってこの問題が解けるのは、三角形の辺の二乗の引き算の公式と余弦定理が等価な公式であるからです。
　等価な公式であるので、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば余弦定理を覚えないでも問題を解くのに支障がありません。
　しかし、それでは寂しいので、また、ここで、余弦定理の式の値が具体的長さに関係付けられ、余弦定理が親しみ易くなったので、以下のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式から１行の式の変換で余弦定理を導出して余弦定理を思い出す習慣をつけましょう。

（これが余弦定理）

リンク：
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
高校数学の目次