【基本的知識】
下図のように原点をＯとしたとき、点ＣからＸＹ平面に下した垂線の足Ｈの座標は以下の図の式であらわせる。また、ベクトルＯＣとＸＹ平面との成す角θは以下の図の式であらわせる。
【問１】
下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、ＡとＢとCである三角錘ＯＡＢCの頂点Cから底面ＯＡBに下した垂線の足ＨのベクトルOHをベクトルOAとOBであらわせ。（ベクトルOHはベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルである）
【解答１】
垂線の足Ｈの位置ベクトルＯＨを、ベクトルＯＡの未知数ｓ倍とベクトルOBの未知数ｔ倍の和であるとして、
ベクトル方程式を作る。
そのベクトル方程式を解いて未知数ｓとｔを求める事でベクトルＯＨを求める。
この式２と式３の連立方程式を解いて未知数ｓとｔを求める。
（解答おわり）
【解答２】
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす公式」 が、２つの空間ベクトルの張る面内の空間ベクトルに対しても成り立つ。
すなわち、ベクトルａとｂをその面内で９０度回転したベクトルａｖとｂｖは、
以下の式でベクトルａとｂを用いてあらわすことができる。
計算の見通しを良くするために、ベクトルａとｂを単位ベクトルにして考える。
ベクトルａｖとｂｖを使って、以下の計算で係数ｓとｔが求められる。
分母は、以下の式であらわせる。
（解答おわり）
【究極の方法】
垂線の足Hの位置ベクトルを直交しないベクトルａと ｂとで表そうとするので難しくなった。
以下の様に、ベクトルｂの、ベクトルａに垂直な成分のベクトルｖを取り出すことができる。
そして、平面OABを構成する互いに直交するベクトルａとｖを使えば、ベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルOHは、以下の式で簡単に表すことができる。
《平面の法線ベクトルｈ》
また、ベクトルａとｂの張る平面の法線ベクトルｈはベクトルＨＣとして求められ、法線ベクトルＨCが（ベクトルａとｂの外積を計算しないでも）以下の式で計算できる。
経験からすると、この究極の方法の方が、種々の問題を解く場合において、直交しないベクトル系で公式を駆使して問題を解くよりも速く解を得るために有用である。
《以下で、ＯＨの長さの２乗とＣＨの長さの２乗を計算しておく》
〔ＯＨの長さの２乗〕
〔ＣＨの長さの２乗〕
ＣＨの長さの２乗は以下の公式で覚えた方が良い。
リンク：
3次元ベクトルの分解の公式
高校数学の目次
下図のように原点をＯとしたとき、点ＣからＸＹ平面に下した垂線の足Ｈの座標は以下の図の式であらわせる。また、ベクトルＯＣとＸＹ平面との成す角θは以下の図の式であらわせる。
【問１】
下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の３頂点が、ＡとＢとCである三角錘ＯＡＢCの頂点Cから底面ＯＡBに下した垂線の足ＨのベクトルOHをベクトルOAとOBであらわせ。（ベクトルOHはベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルである）
垂線の足Ｈの位置ベクトルＯＨを、ベクトルＯＡの未知数ｓ倍とベクトルOBの未知数ｔ倍の和であるとして、
ベクトル方程式を作る。
そのベクトル方程式を解いて未知数ｓとｔを求める事でベクトルＯＨを求める。
（解答おわり）
【解答２】
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす公式」 が、２つの空間ベクトルの張る面内の空間ベクトルに対しても成り立つ。
すなわち、ベクトルａとｂをその面内で９０度回転したベクトルａｖとｂｖは、
以下の式でベクトルａとｂを用いてあらわすことができる。
ベクトルａｖとｂｖを使って、以下の計算で係数ｓとｔが求められる。
【究極の方法】
垂線の足Hの位置ベクトルを直交しないベクトルａと ｂとで表そうとするので難しくなった。
以下の様に、ベクトルｂの、ベクトルａに垂直な成分のベクトルｖを取り出すことができる。
そして、平面OABを構成する互いに直交するベクトルａとｖを使えば、ベクトルOCの平面OABへの正射影ベクトルOHは、以下の式で簡単に表すことができる。
《平面の法線ベクトルｈ》
また、ベクトルａとｂの張る平面の法線ベクトルｈはベクトルＨＣとして求められ、法線ベクトルＨCが（ベクトルａとｂの外積を計算しないでも）以下の式で計算できる。
経験からすると、この究極の方法の方が、種々の問題を解く場合において、直交しないベクトル系で公式を駆使して問題を解くよりも速く解を得るために有用である。
《以下で、ＯＨの長さの２乗とＣＨの長さの２乗を計算しておく》
〔ＯＨの長さの２乗〕
〔ＣＨの長さの２乗〕
ＣＨの長さの２乗は以下の公式で覚えた方が良い。
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3次元ベクトルの分解の公式
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