９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす

以下の図に、ベクトルａとｂを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをあらわします。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

　次に、ベクトルの分解の公式を使って、ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖを、ベクトルａとｂであらわしてみます。

《ベクトルの分解の公式》

（ベクトルの分解の公式おわり）

ベクトルの分解の公式は、以下の図でもあらわせる。

この図の式が成り立つ理由は、面積S_Bや面積S_Aは、ベクトルｂやベクトルａの、直線ＯＺに垂直な成分に比例するからです。

　このベクトルの分解の公式により、ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖが、以下の式で、ベクトルａとｂであらわせます。

　この式２は、以下の式３に変形できます。

この式３は、ベクトルｂを直交するベクトルに分解した式をあらわしています。この式３から始めて式２を得ることもできます。

式２を成分であらわすと以下の式４になります。

ベクトルの分解の公式により、ベクトルｂを９０度回転したベクトルｂ_ｖも、以下の式５で、ベクトルａとｂであらわせます。

以上の計算の結果をまとめると、
ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをベクトルａとｂで表す式が以下の式であらわせた。

この関係式２bと５bは、以下の様に単位ベクトルを使って表した方が分かり易い。
（角度θを、ベクトルからａベクトルｂまで左回りにベクトルが回転する角度とする）
すなわち、角度θを、ベクトルａに対する（ベクトルａを基準にした場合の）ベクトルｂの角度とする。

この式２’と５’の方が、式２と５よりも分かりやすいと思います。

なお、以下の式の関係もあります。

ベクトルａとｂが単位ベクトルで無い場合は：

（補足）
ベクトルａとｂを９０度回転したベクトルａ_ｖとｂ_ｖをベクトルａとｂで表すよりも、ベクトルａ_ｖとｂ_ｖのみで単純に表す方が優れた表現です。
ベクトルａが定義されたときに、自動的にベクトルａ_ｖも定義されたと考えた方が良いです。
上の式のように、
単位ベクトルａとｂについて考えると、
（単位ベクトルｂ）－ cosθ（単位ベクトルａ）
と表現された複雑な式があれば、
それを
sinθ（ベクトルａ_ｖ）
に変換する練習をしておいてください。

すなわち、任意のベクトルａとｂで、
以下の式の左辺があらわれたら、右辺の式が直ぐに思い付く練習をしておいてください。

この２つの式は同じ形の式です。
以下の形の公式にしてまとめて覚えましょう。

この式は、三角形の高さベクトルhの公式を表しています。

（注意）
　上の式(6)と(7)では、ベクトルａ又はベクトルｂとの内積をベクトルの係数にする計算をしていますが、その２つの式とも、ベクトルａとベクトルｂの合成ベクトルを使って、その合成ベクトルとの内積をベクトルの係数にする計算式でも表せます。そのように、これらの式の表し方にはバラエティ（自由度）があります。そのバラエティがベクトルの計算を複雑にするので、計算の森で迷子になる恐れがあります。そのため良く注意しましょう。

リンク：
２元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する
高校数学の目次