樹形図の基本ルール：
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和（太さ）は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝（個々の枝は複数の糸の束で作る）に展開することもできる。
樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。
【例題０】
白球３個と赤球２個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出 した球はもとに戻さずに、３個の球を取り出した。３番目の球が赤球である確率を求めよ。
〔初期の考察１〕
３個の白球と２個の赤球を合わせた５個の球１つ１つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
そう考えると、その５個の球の各球を取り出す確からしさは、５つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図（樹形図の一部のみを表す）が書ける。
上図の樹形図は、取り出 した球はもとに戻さずに３個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部（１番目の球が赤球１の場合のみ）を表している。この樹形図の糸（事象の連鎖）の１本１本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸（事象の連鎖）は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖（例えば1, 2, 3）と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
【単純化した樹形図】
上図の事象の連鎖の糸を１２本書くよりは、
この事象の連鎖１２個を、
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,2,5)
(1,3,2)
(1,3,4)
(1,3,5)
(1,4,2)
(1,4,3)
(1,4,5)
(1,5,2)
(1,5,3)
(1,5,4)
とあらわす方が単純になる。
これは、以下のように単純化した樹形図であらわせる。
このように、事象の連鎖を併記すると、樹形図が単純な形であらわせる。
この事象の連鎖の糸の１本の太さを１とすると、１番目に取り出す球が赤球１（球１）である糸の束の太さが、
４×３＝１２
になります。それは、１番目に取り出す球が赤球１（すなわち球１）である場合の数が１２であることを意味する。
〔考察２〕次に下図を考える。
上図の、樹形図の一部の表示では、３番目の球が赤球１（球１）の場合の糸（事象の連鎖）の束を表している。
【例題０の解答】
事象の連鎖を併記して単純化した形の樹形図は下図になる。
このように単純な形で樹形図をあらわせる。
３番目に取り出す球が赤球１（球１）である場合の樹形図の糸の束の太さは、４×３＝１２になります。それは３番目に取り出す球が赤球１（球１）である（事象の連鎖の）場合の数が１２であることを意味する。
３番目に取り出す球が赤球２（球２）の場合の樹形図も加えて、更に、３番目が白球である場合も加えて、樹形図を完成させると、完成した樹形図では、
３番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
の比（場合の数の比）が
（４×３×２）：（４×３×３）
＝（１２×２）：（１２×３）
＝２：３
になります。
よって、 ３番目の球が赤球である確率＝
＝２／（２＋３）
＝２／５
になります。
（例題０の解答おわり）
樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
「糸」の１つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖：各試行毎に取り出す球の番号の連鎖（1 2 3）であらわすことができます。
先の樹形図は以下の樹形図として描くこともできます。
更に、以下の樹形図として描くこともできます。
もっと変形した以下の樹形図として描くこともできます。
３番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、３番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、３番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。
この様に、樹形図の「糸」が貫く、１番目と２番目と３番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。
【樹形図を編集する例題１】
赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引く問題の場合の樹形図。
この問題では、以下の単純化した樹形図が描ける。
《よくある間違い》
以下の例題２では、よくある間違いだけを指摘し、正解は省略する。
【例題２】
箱の中の1〜10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードのうちから１枚取り出し、記録し箱に戻すという操作を3回繰り返す。最小値が6になる確率を求めよ。
【間違い】
以下の樹形図の確率の和を求める。
(6,x,x)のうちの(6,6,x)と、
(x,6,x)のうちの(6,6,x)が
ダブっています。
そのため、この３つの確率の和を取る計算は間違いです。
（誤りの解説おわり）
【例題３】
１枚の硬貨をくりかえし投げ、表が２回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし、投げられる回数は６回までとし、２回目の表が出たらそれ以上は投げない。１回目には裏がでるが結局は商品がもらえることになる場合の確率を求めよ。
【解１】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図での事象の連鎖の記号の意味は、硬貨の表が出る事象を１とし、裏が出る事象を０とした。
この樹形図は、
３回で商品を獲得する事象、
４回で商品を獲得する事象、
５回で商品を獲得する事象、
６回で商品を獲得する事象、
の順に、事象の連鎖のバラエティを並べた樹形図である。
このような樹形図を書けば、以上の計算式によって、確率が計算できる。
（解１おわり）
【解２】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
（解２おわり）
《解答の基本》
玉を選ぶ確率の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。
(3) そして、「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」玉を取り出す問題であっても、その玉を、時間差をもうけた「順番に」取り出す問題と考えて問題をわかり易くして解くのが良い。
《補助線（縦線）を使った樹形図》
【例題４（その１）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧２のとき、１の目が少なくとも１回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図では、補助線として縦線を用いる。その縦線中で〇付けした枝の太さの合計を縦線の下に記載した。
①では、横線の枝の束の太さから、分岐枝の太さを引き算することで、残りの分岐枝の太さを求めた。
②では、第２の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
③では、第１の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その１）の解答の確率の値は、③で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
【例題４（その２）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧３のとき、１の目が少なくとも２回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
例題４（その１）で作成した樹形図を延長した下図のような樹形図を書いて問題を整理する。
④では、縦線の枝の束の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
⑤では、横の幹の太さから、④で求めた横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その２）の解答の確率の値は、⑤で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
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《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和（太さ）は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝（個々の枝は複数の糸の束で作る）に展開することもできる。
樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。
【例題０】
白球３個と赤球２個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出 した球はもとに戻さずに、３個の球を取り出した。３番目の球が赤球である確率を求めよ。
〔初期の考察１〕
３個の白球と２個の赤球を合わせた５個の球１つ１つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
そう考えると、その５個の球の各球を取り出す確からしさは、５つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図（樹形図の一部のみを表す）が書ける。
上図の樹形図は、取り出 した球はもとに戻さずに３個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部（１番目の球が赤球１の場合のみ）を表している。この樹形図の糸（事象の連鎖）の１本１本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸（事象の連鎖）は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖（例えば1, 2, 3）と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
【単純化した樹形図】
上図の事象の連鎖の糸を１２本書くよりは、
この事象の連鎖１２個を、
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,2,5)
(1,3,2)
(1,3,4)
(1,3,5)
(1,4,2)
(1,4,3)
(1,4,5)
(1,5,2)
(1,5,3)
(1,5,4)
とあらわす方が単純になる。
これは、以下のように単純化した樹形図であらわせる。
このように、事象の連鎖を併記すると、樹形図が単純な形であらわせる。
この事象の連鎖の糸の１本の太さを１とすると、１番目に取り出す球が赤球１（球１）である糸の束の太さが、
４×３＝１２
になります。それは、１番目に取り出す球が赤球１（すなわち球１）である場合の数が１２であることを意味する。
〔考察２〕次に下図を考える。
上図の、樹形図の一部の表示では、３番目の球が赤球１（球１）の場合の糸（事象の連鎖）の束を表している。
【例題０の解答】
事象の連鎖を併記して単純化した形の樹形図は下図になる。
このように単純な形で樹形図をあらわせる。
３番目に取り出す球が赤球１（球１）である場合の樹形図の糸の束の太さは、４×３＝１２になります。それは３番目に取り出す球が赤球１（球１）である（事象の連鎖の）場合の数が１２であることを意味する。
３番目に取り出す球が赤球２（球２）の場合の樹形図も加えて、更に、３番目が白球である場合も加えて、樹形図を完成させると、完成した樹形図では、
３番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
の比（場合の数の比）が
（４×３×２）：（４×３×３）
＝（１２×２）：（１２×３）
＝２：３
になります。
よって、 ３番目の球が赤球である確率＝
＝２／（２＋３）
＝２／５
になります。
（例題０の解答おわり）
樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
「糸」の１つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖：各試行毎に取り出す球の番号の連鎖（1 2 3）であらわすことができます。
先の樹形図は以下の樹形図として描くこともできます。
更に、以下の樹形図として描くこともできます。
もっと変形した以下の樹形図として描くこともできます。
３番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、３番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、３番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。
この様に、樹形図の「糸」が貫く、１番目と２番目と３番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。
【樹形図を編集する例題１】
赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引く問題の場合の樹形図。
この問題では、以下の単純化した樹形図が描ける。
《よくある間違い》
以下の例題２では、よくある間違いだけを指摘し、正解は省略する。
【例題２】
箱の中の1〜10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードのうちから１枚取り出し、記録し箱に戻すという操作を3回繰り返す。最小値が6になる確率を求めよ。
【間違い】
以下の樹形図の確率の和を求める。
(6,x,x)のうちの(6,6,x)と、
(x,6,x)のうちの(6,6,x)が
ダブっています。
そのため、この３つの確率の和を取る計算は間違いです。
（誤りの解説おわり）
【例題３】
１枚の硬貨をくりかえし投げ、表が２回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし、投げられる回数は６回までとし、２回目の表が出たらそれ以上は投げない。１回目には裏がでるが結局は商品がもらえることになる場合の確率を求めよ。
【解１】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図での事象の連鎖の記号の意味は、硬貨の表が出る事象を１とし、裏が出る事象を０とした。
この樹形図は、
３回で商品を獲得する事象、
４回で商品を獲得する事象、
５回で商品を獲得する事象、
６回で商品を獲得する事象、
の順に、事象の連鎖のバラエティを並べた樹形図である。
このような樹形図を書けば、以上の計算式によって、確率が計算できる。
（解１おわり）
【解２】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
（解２おわり）
《解答の基本》
玉を選ぶ確率の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。
(3) そして、「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」玉を取り出す問題であっても、その玉を、時間差をもうけた「順番に」取り出す問題と考えて問題をわかり易くして解くのが良い。
《補助線（縦線）を使った樹形図》
【例題４（その１）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧２のとき、１の目が少なくとも１回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図では、補助線として縦線を用いる。その縦線中で〇付けした枝の太さの合計を縦線の下に記載した。
①では、横線の枝の束の太さから、分岐枝の太さを引き算することで、残りの分岐枝の太さを求めた。
②では、第２の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
③では、第１の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その１）の解答の確率の値は、③で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
【例題４（その２）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧３のとき、１の目が少なくとも２回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
例題４（その１）で作成した樹形図を延長した下図のような樹形図を書いて問題を整理する。
④では、縦線の枝の束の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
⑤では、横の幹の太さから、④で求めた横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その２）の解答の確率の値は、⑤で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
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