３つの空間ベクトルが同一平面上にある条件

【問１】
　空間内の４点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、
kの値を求めよ。
　言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときｋの値を求めよ。
　更に言いかえると、３つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときｋの値を求めよ。

【問２】
　問１の解のｋの値の直線OＣと直線ＡＢの交点ＰをあらわすベクトルＯＰを求めよ。

【問３】
　空間内の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同一平面上にある場合に、各点の位置ベクトルの間にある関係を求めよ。

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ベクトルの内積であらわされた２直線の交点

直線の方程式の一般形は、
ａｘ＋ｂｙ－ｃ＝０，
である。

すなわち、直線の式は、下図のようにベクトルの内積であらわされた式である。


【課題】ベクトルの内積であらわされた以下の式(1)の直線と、式(2)の直線との交点のベクトルを計算する。


【解答】
「２元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する」のページの連立方程式の解の式(7)を参考にする。
そのページの式(7)と同じ形の、以下の式(3)で２直線の交点のベクトルｚを表すと、式(4)と式(5)が成り立つ。

そのため、交点のベクトルｚが以下の式(8)であらわされる。式(8)を具体的にあらわすと式(9)であらわせる。


（解答おわり）
　この解は、交点の位置ベクトルｚを、直線に平行なベクトルの合成であらわす解である。

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ベクトルの視点で見える直線の式の意味
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