点Ａを通る直線の円への接点を座標軸を回転して解く

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。

上の図で線分ＯＡの長さをａとする。

（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。

【解答１】先ず、座標軸を回転しない方法で解く。
円の式は、
ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
また、ＯＡの長さａについて以下の式２が成り立つ。

（１）
円の接線の式を作る。
接点Ｂの座標をＢ（ ｂ_１，ｂ_２）とし、接点Ｃの座標をＣ（ ｃ_１，ｃ_２）する。
接点Ｂを通る円の接線の式は、接線の公式を使って、

とあらわされる。
この接線が点Ａを通るため、以下の式がなりたつ。

（２） 
接点Ｂの座標を円の式（式１）に代入する。

（３） 
式４と式５を連立して接点Ｂ（ ｂ_１，ｂ_２）の座標を求める。

-----（注意）------
　ここで、式４と式５を連立した式は、以下の式４’と式１を連立して接点Ｂの（ｘ，ｙ）座標を求める式である。

 
　ｘ^２＋ｙ^２＝１　（１）
この連立方程式は、接点Ｂと一緒に接点Cの座標を求める式であるとも言える。そのため、式４’は、接点BとCとを通る直線の式（極線）をあらわしている。
-----注意おわり--------

先ず、式４から、

式６を式５に代入して未知数ｂ_２を消去する。
その代入をしやすくするために、式５にａ_２^２を掛け算する。

これに式６を代入する。

未知数ｂ_１に関して、上の式を整理する。

この式を未知数ｂ_１に関して平方完成する。

（４）
この式を式６に代入して未知数ｂ_２を計算する。

この解は、接点Ｂと接点Ｃとの両方の解をあらわしている。
よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせます。
接点Ｂは、

接点Ｃは、

（解答おわり）

【解答２】座標軸を回転して解く
ここで、円の式の次元をそろえるためにｒ＝１という定数ｒを使う。
すると、円の式は以下の式１になる。
ｘ^２＋ｙ^２＝r^２　（式１）
また、ＯＡの長さａについて以下の式２が成り立つ。

（１）以下の図のように、ＸＹ座標軸を回転変換したｓｔ座標系を考える。
このｓｔ座標系への回転変換の式を単純化した。
その副作用で、ＸＹ座標系は、回転変換される上に、更に、拡大縮小変換もされる。

この場合に、以下の逆変換の式が成り立つ。

こうして回転変換したｓｔ座標系でグラフを観察すると、ＸＹ座標系で観察した円と直線のグラフは以下のグラフに変わる。

（確認した注意点）
　座標を回転変換及び拡大縮小変換するだけならば、グラフ同士が接する関係は、変換の結果でも維持される。
そのため、変換されたｓｔ座標系で接点の座標を求め、その座標をXY座標系に逆変換すれば良い。

次に、上図のように、図から、接点の（ｓ，ｔ）座標を求める。
（方程式を解いて接点を計算するよりも、図形の考察により接点の座標を求める方が、計算の見通しが良いので優れた解き方である。）

得られた（ｓ，ｔ）座標を、以下の様にして（ｘ，ｙ）座標に逆変換する。
そして、最後にｒ＝１として、式を仕上げる。

以上で得た（ｘ，ｙ）座標が接点の座標である。
（最後にｒ＝１を代入する前までの式では、ｒを含む各定数が長さの次元を持つと考え、ｘとｙを与える式の各項の次元が長さの次元にそろっていることを確認する検算ができた）
（解答おわり）

（補足）
　座標の回転変換を利用して解くと、計算がずいぶん楽になった。

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