加法定理とは（１）

以下の加法定理を導く計算は覚えにくいかもしれません。
ベクトルの内積を学んだ人には、「加法定理はベクトルの内積の式」
の計算の方が、余弦定理を気にしないでも考えられる等で、分かり易いので、そちらを読んでみてください。

【ｃｏｓの加法定理】

上図のように、半径が１の単位円上の２つの点ＷとＳがあり、
点Ｗの偏角はαとし、点Ｓの偏角はβとする。
その２つの点の偏角の差β－α＝θの余弦ｃｏｓ（θ）を求める。

点Ｗの座標（ｗ_１，ｗ_２）と点Ｓの座標（ｓ_１，ｓ_２）とαとβとθの間には以下の関係があります。
（なお、上図の様に添え字を付けてあらわした座標記号を使い、点の名前ＷとＳを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）

先ず、余弦定理を、以下の図と式で思い出します。

余弦定理により以下の式が得られる。

各座標をαとβの三角関数で置き換えると、

（式２）は、ｃｏｓの加法定理です。
この形であらわしたｃｏｓの加法定理は、２項を足し算した公式なので覚え易いと思います。

（三角形の辺の二乗の引き算の公式を使った導出方法）

三角形ＯＳＷの辺ＯＳと辺ＳＷの二乗の引き算の公式：

各座標をαとβの三角関数で置き換えると、

（ｃｏｓの加法定理の導出おわり）
　上のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使ってｃｏｓの加法定理が導出できるのは、三角形の辺の二乗の引き算の公式と余弦定理が等価な公式であるからです。
　等価な公式であるので、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば余弦定理を覚えないでも問題を解くのに支障がありません。
　しかし、それでは寂しいので、以下のように、三角形の辺の二乗の引き算の公式から１行の式の変換で余弦定理を導出して余弦定理を思い出す習慣をつけましょう。

（これが余弦定理）

（ｃｏｓの加法定理のもう１つの導出方法）
　三角形の垂心の関係線分の長さは、以下の図の様に、三角比で表す長さのデパートになっています。

この三角比であらわす長さのデパートから、
以下の公式が成り立っていることが分かります。
ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ－ｃｏｓＢｃｏｓＣ，
ｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π－Ｂ－Ｃ)
＝－ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ），
∴　ｃｏｓ（Ｂ＋C)＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ－ｓｉｎＢｓｉｎＣ，
（ｃｏｓの加法定理の導出おわり）

【ｓｉｎの加法定理】
また、ｓｉｎの加法定理は、上の式のｃｏｓをｓｉｎを用いた形に変えることで導けます。
ｓｉｎ（（π／２）－（β－α））
＝ｃｏｓβ・ｃｏｓα＋ｓｉｎβ・ｓｉｎα
ここで、
（π／２）－β＝γ
と置き換え、
β＝（π／２）－γで書き換えます。
ｓｉｎ（γ＋α）
＝ｃｏｓ（（π／２）－γ）・ｃｏｓα
＋ｓｉｎ（（π／２）－γ）・ｓｉｎα
ｓｉｎ（γ＋α）＝ｓｉｎ（γ）・ｃｏｓα＋ｃｏｓ（γ）・ｓｉｎα
ｓｉｎ（γ＋α）＝ｓｉｎγ・ｃｏｓα＋ｃｏｓγ・ｓｉｎα　（式３）
（式３）は、ｓｉｎの加法定理です。
この形であらわしたｓｉｎの加法定理は、２項を足し算した公式なので覚え易いと思います。

【ｓｉｎの加法定理のその他の証明】
先ず、以下の三角形を考えて３辺の長さを各辺の正弦定理を使うと、加法定理が導き出されます。

この辺ＢＣの長さａについては：
ＢＣ＝２ＲｓｉｎＡ ,
でもある。
それによって、
ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
が得られる。
そして：
ｓｉｎ（π－Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
（証明おわり）

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