交差する直線の連立方程式の変換

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】２つの線の交点を与える連立方程式として、
（直線１）　ｘ＋ｙ＝５　（式１）
（曲線２）　ｘｙ＝６　　（式２）
がある。この２つの線の式の連立方程式の解は、２つの線の交点ＡとＢの座標（ｘ，ｙ）を与える。
この式１と式２と同じ解を与える以下の形の連立方程式を作れ。
（直線１）　　　ｘ＋ｙ＝５　　　　　　　（式１）
（２直線３）　（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０　（式３）

（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。

（計算方針）
（ｍｘ）（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、（２直線３）の式を求める。

計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（直線１）　　ｘ＋ｙ－５＝０　（式１’）
（曲線２）　　ｘｙ－６＝０　　（式２’）
（２直線３）　ｘ^２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０　（式３’）

（２直線３の式の計算）
（ｍｘ）（式１’）＋ｎ（式２’）を計算することで、直線３の式を求める。
（ｍｘ）（ｘ＋ｙ－５）＋ｎ（ｘｙ－６）＝０　（式４）
この式４を、式３’と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式４と式３’を比較し易いように、式４を変形する。
ｍｘ^２＋（ｍ＋ｎ）ｘｙ－５ｍｘ－６ｎ＝０　（式４’）
一方式３’は以下の式である。
ｘ^２－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝０　（式３’）
式４’が式３’と等しいためには、
　　　　　　　＜式４’＞＜式３’＞
ｘ^２の項：　　　　　　ｍ＝１　　　　　（式５）
ｘｙの項：　　（ｍ＋ｎ）＝０　　　　　（式６）
ｘの項：　　　　－５ｍ＝－（ａ＋ｂ）　（式７）
定数項：　　　　－６ｎ＝ａｂ　　　　（式８）

これらの式５から式８までの式のうち式７と式８は、値が定められていない数ａとｂを定める式であるので、ｍとｎの値を制限する式ではないので、無視して良い。

よって、以下の式でｍとｎを定める。
ｍ＝１　　　　　（式５）
（ｍ＋ｎ）＝０　（式６）
式５を式６に代入して、
ｎ＝－１
が得られる。
ｍ＝１と、ｎ＝－１とを式４’に代入する。
ｍｘ^２＋（ｍ＋ｎ）ｘｙ－５ｍｘ－６ｎ＝０　（式４’）
ｘ^２－５ｘ＋６＝０
これが式３’の形の式である。
因数分解して
（Ｘ－２）（Ｘ－３）＝０　（式３）
が得られる。

（注意）この式は、式１’と式２’を加えて得た式３であるので、式１と式２の線の交点ＡとＢを通る。

以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線１）　　ｘ＋ｙ＝５　　　　　　　　（式１）
（２直線３）　（Ｘ－２）（Ｘ－３）＝０　（式３）
すなわち、上の式の直線１と（２直線３）との交点は、直線１と曲線２の交点Ａ、Ｂと同じ点である。


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