「微分・積分」の勉強
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
《以下で、この問題の４つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）
【解答４】方程式群を等価な方程式群に変換して解く解答
（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。
【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ （式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
である。
（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：
この式５を解くと、
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２ （式７）
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）
（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。
式１より
接点は、
このとき、
（以上が第２の種類の接点）
（解答１おわり）
【解答２】
この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。
この方程式で、以下の式３の置き換えをして解く。
この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。
この解を、以下の様にグラフで表す。
ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。
これら、各場合を、以下の様にして解く。
この式は、重解となる条件をあらわすので、重解の判別式であると解釈できる。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。
これが、場合１の解である。
これが、場合２の解である。
これが、場合３の解である。
（解答２おわり）
【解答３】
以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。
式１と式２は、この式４と式２の連立方程式に変換された。
その関係を、以下の図であらわす。
ｈを変えた場合の解の様子を、以下のグラフで考える。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。
これら、各場合を、以下の様にして解く。
これが、場合１の解である。
これが、場合２の解である。
これが、場合３の解である。
（解答３おわり）
【解答４】
以下の様に、方程式群を等価な方程式群に変換した上で、その方程式群で、図形の交点が接点となる場合に重解になる事に基づき、接点を求めることができます。
式１を以下の式３に変形した上で式２に代入して式４を求める。
この式４と式２を連立した式は、元の式１と式２に等価な式になります。
この式２と式４の１組の式において、共有点(x,y)の解が２重に得られる場合が接点の解になります。
-------（視点を変えた式の解釈のはじめ）---------
元の式１と式２に等価な式２と式４では、共有点(x,y)が同じになるという共通点はありますが、１つ、大きな違いを持っています。式２の曲線と式４の曲線（Ｘ軸に平行な２つの直線）とが接する接点は、式１のグラフと式２のグラフの接点でもあります。
しかし、式４の表す２つの直線が１本の直線になる条件における、式２のグラフと式４の表す直線との交点は、式２のグラフと式４のグラフとの接点では無いが、その点は、式１のグラフと式２のグラフの接点です。等価なこの式（式２と式４）は、元の式（式１と式２）の接点という性質を完全に受け継ぐ式では無いという違いがあります。
-------（視点を変えた式の解釈おわり）--------
その共有点(x,y)の解が２重に得られる場合には、以下の２つの場合があります。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な直線とグラフの２つの交点(x,y)のｘ座標を求める方程式が重解を持つ場合。
（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る接線とグラフとの接点は、式(4)がｙの重解を持つことで発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)でｘの実数値が求められる必要がある。
場合Bでは、上図のように考える。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
その接線を微小量Δｔの幅で平行移動した直線とグラフの共有点については、接線の方向で隔たった２点になる。
その２点がY座標で区別できるためには、接線の方向ベクトルがY軸に射影される成分を持たなければならない。接線の方向ベクトルは、接線上のどの点でもYの値が一定になってしまうことになるX軸に平行な方向を向いていてはならない。
X軸に平行な接線とグラフとの接点では場合Bの変数ｙを用いては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式(4)ではその接点では変数Yの値の重解を持たない。
X軸に平行な接線とグラフの接点を調べるためには、場合Aで、その接線の方向ベクトルが射影され得るX軸の変数ｘを用いて調べる必要がある。
以下で、この２つの場合の接点の解を求める。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な直線とグラフの２つの交点(x,y)のｘ座標を求める方程式が重解を持つ場合。
すなわち、式(4)で与えられる一定のｙの値を定数と考えた変数ｘの方程式(2)の解を求める。それにより、ｘ軸に平行な直線と式(2)のグラフの２つの交点の変数ｘの値が重解になる場合を調べる事で接点を求める。
その２つの交点が重解になる場合に、式６のｘの解が重解（ｘ＝０）になる。重解になる場合の変数ｙの値は式(4)で与えられる。その場合は、以下の２つのｙの値の接線と式(2)のグラフが接する場合である。
（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る方向を向く場合は、式(4)がｙの重解を持つことで接点が発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)を解いてｘの実数解が求められる必要がある。
すなわち、ｘの値が式１２の２つの場合には、式１０のｙの解が重解になる。
---（注意）-----------
この式１１を求めて、それを式２に代入してｘの値を求める場合に、
「円と放物線が接する場合」の問題の場合には、
式２を満足するｘの実数解が無い。
その場合には、場合Ｂの接点が存在しない。
----注意おわり-------
以上をまとめると、
接点の解は、場合Ａの、式６のＸ＝０と、式７と式８の場合と、
場合Ｂの、式１１と式１２の場合である。
（解答４おわり）
（補足１）
解答４において、場合Aと場合Bとの２つの場合で重解を求める必要性があるのは、以下の理由からです。
場合Bの重解を求めるため式４を使ってｙの重解を得ることで接点が発見できる場合は、接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る場合に限られる。
接線とグラフの１つの接点がある場合に、下図のように接線を平行移動した直線とグラフの交点を求めると、接線上の異なる２点に分かれた交点が求められる。その分かれた２点のｙ座標の値が異なるのでなければ変数ｙの式を使っては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式４では、Ｘ軸に平行な接線（Y座標値が一定値なグラフ）との接点に関わるｙの重解を持たない。
場合Bでは、上図のように考える。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
接線で点の解が重解を持ち、接線に平行な直線とグラフとが共有する２つの共有点は接線の方向で隔たっている。そのため、共有点が２つある事を見分けるためには、接線の方向のベクトルが変数ｙのY座標軸の方向に０以外の値の成分を持つ必要がある。
接線の方向のベクトルがｙ座標値が一定になるようにX軸に平行な場合は、変数Yの式によっては共有点が２つある事が見分けられず、隔たった２つの共有点のY座標は１つのみになる。
そのため、隔たった２つの共有点が１つになって重解になるという接点の特徴を観察して接点を判別するためには、接線の方向は、X軸に平行であってはならない。
場合Ａについては、以下の様に考える。
放物線を部分部分に分解すると、各部分は直線に近似できる。
放物線と円の接点を求める問題は、その直線と円との接点を考える問題と解釈できる。
放物線のグラフの部分を表す直線の、ｘ座標を変数ｙの関数としてグラフを表そうとする場合、
その直線の式は、
x=ay+b
という関数でしか扱えない。
y=-1, という直線の式は、下の図のように、x=f(y)と表すyの関数で表すことができない。
y=-1は、yの関数ではない。
x=ay+bというｙの関数によっては、ｘ軸に平行な放物線の部分に近似させた直線を表すことができない。
そのため、x軸に平行な放物線の部分の直線は、yの関数を使っては、決して表す事ができない。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１）
と、円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。
《以下で、この問題の４つの解答を示す》
【解答１】微分を使って解く解答
【解答２】微分を使わないで、方程式の変形のみで解く面倒くさい解答（重解の、特殊な判別式を使う）
【解答３】グラフの図形を使って簡単に解く解答（重解の判別式の意味を考える）
【解答４】方程式群を等価な方程式群に変換して解く解答
（解答１の解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。
【解答１】
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、
式１から、
放物線 ｙ＝ｘ２＋ｈ （式１’）
式２から、
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２’）
（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ （式３）
である。
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、
法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４）
である。
（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
式３＝式４：
ｘ＝０ （式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－１／２
ｙ＝１／２ （式７）
（５）
（式６の場合の接点を求める）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９）
（５－１）
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
（５－２）
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
（５－３）
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（以上が、第１の種類の接点）
（６）
（式７の場合の接点を求める）
式７（ｙ＝１／２）を式４に代入する。
（解答１おわり）
【解答２】
この問題を微分を使わないで、図形の交点が接点となる場合に重解になる事を利用して解く場合は、以下のように面倒くさい解き方になります。
この式４から、以下の式５と式６を得て、式６からｘの式を得る。
この事をふまえて考察すると、２つのグラフが接することになる条件は、以下の３つである。
この判別式は、等価な以下の連立方程式８－１と８－１ｂに変形できる。
式８－１ｂを以下の式に変形する。
（解答２おわり）
【解答３】
以下のように、図で考えて図から答えを得て計算すると簡単に解ける。
その関係を、以下の図であらわす。
この様に、ｈが大きくなると、４つの交点のうちの２つが消える事を認識する。
この事をふまえて、式４と式２の関係を考察する。
式１と式２の２つのグラフが接することになる条件は、式４と式２の２つのグラフの４つの交点のうちの２つが重なって重解になる条件と同じである。
各場合の、重解になる条件をあらわす式が、その各場合の重解の判別式である。
重解になる条件は、以下の３つの場合がある。
これが、場合３の解である。
（解答３おわり）
【解答４】
以下の様に、方程式群を等価な方程式群に変換した上で、その方程式群で、図形の交点が接点となる場合に重解になる事に基づき、接点を求めることができます。
-------（視点を変えた式の解釈のはじめ）---------
元の式１と式２に等価な式２と式４では、共有点(x,y)が同じになるという共通点はありますが、１つ、大きな違いを持っています。式２の曲線と式４の曲線（Ｘ軸に平行な２つの直線）とが接する接点は、式１のグラフと式２のグラフの接点でもあります。
しかし、式４の表す２つの直線が１本の直線になる条件における、式２のグラフと式４の表す直線との交点は、式２のグラフと式４のグラフとの接点では無いが、その点は、式１のグラフと式２のグラフの接点です。等価なこの式（式２と式４）は、元の式（式１と式２）の接点という性質を完全に受け継ぐ式では無いという違いがあります。
-------（視点を変えた式の解釈おわり）--------
その共有点(x,y)の解が２重に得られる場合には、以下の２つの場合があります。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な直線とグラフの２つの交点(x,y)のｘ座標を求める方程式が重解を持つ場合。
（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る接線とグラフとの接点は、式(4)がｙの重解を持つことで発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)でｘの実数値が求められる必要がある。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
その接線を微小量Δｔの幅で平行移動した直線とグラフの共有点については、接線の方向で隔たった２点になる。
その２点がY座標で区別できるためには、接線の方向ベクトルがY軸に射影される成分を持たなければならない。接線の方向ベクトルは、接線上のどの点でもYの値が一定になってしまうことになるX軸に平行な方向を向いていてはならない。
X軸に平行な接線とグラフとの接点では場合Bの変数ｙを用いては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式(4)ではその接点では変数Yの値の重解を持たない。
X軸に平行な接線とグラフの接点を調べるためには、場合Aで、その接線の方向ベクトルが射影され得るX軸の変数ｘを用いて調べる必要がある。
以下で、この２つの場合の接点の解を求める。
（場合Ａ）ｘ軸に平行な直線とグラフの２つの交点(x,y)のｘ座標を求める方程式が重解を持つ場合。
すなわち、式(4)で与えられる一定のｙの値を定数と考えた変数ｘの方程式(2)の解を求める。それにより、ｘ軸に平行な直線と式(2)のグラフの２つの交点の変数ｘの値が重解になる場合を調べる事で接点を求める。
（場合Ｂ）接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る方向を向く場合は、式(4)がｙの重解を持つことで接点が発見できる。ただし、そのｙの値について、式(2)を解いてｘの実数解が求められる必要がある。
---（注意）-----------
この式１１を求めて、それを式２に代入してｘの値を求める場合に、
「円と放物線が接する場合」の問題の場合には、
式２を満足するｘの実数解が無い。
その場合には、場合Ｂの接点が存在しない。
----注意おわり-------
以上をまとめると、
接点の解は、場合Ａの、式６のＸ＝０と、式７と式８の場合と、
場合Ｂの、式１１と式１２の場合である。
（解答４おわり）
（補足１）
解答４において、場合Aと場合Bとの２つの場合で重解を求める必要性があるのは、以下の理由からです。
場合Bの重解を求めるため式４を使ってｙの重解を得ることで接点が発見できる場合は、接線の方向ベクトルがY軸に射影され得る場合に限られる。
接線とグラフの１つの接点がある場合に、下図のように接線を平行移動した直線とグラフの交点を求めると、接線上の異なる２点に分かれた交点が求められる。その分かれた２点のｙ座標の値が異なるのでなければ変数ｙの式を使っては接点の重解が判別できない。そのため、変数ｙの式４では、Ｘ軸に平行な接線（Y座標値が一定値なグラフ）との接点に関わるｙの重解を持たない。
接線がグラフに接することで、接線とグラフの共有点が１つ（重解）になる接点では、以下の事が起きている。
接線で点の解が重解を持ち、接線に平行な直線とグラフとが共有する２つの共有点は接線の方向で隔たっている。そのため、共有点が２つある事を見分けるためには、接線の方向のベクトルが変数ｙのY座標軸の方向に０以外の値の成分を持つ必要がある。
接線の方向のベクトルがｙ座標値が一定になるようにX軸に平行な場合は、変数Yの式によっては共有点が２つある事が見分けられず、隔たった２つの共有点のY座標は１つのみになる。
そのため、隔たった２つの共有点が１つになって重解になるという接点の特徴を観察して接点を判別するためには、接線の方向は、X軸に平行であってはならない。
場合Ａについては、以下の様に考える。
放物線を部分部分に分解すると、各部分は直線に近似できる。
放物線と円の接点を求める問題は、その直線と円との接点を考える問題と解釈できる。
放物線のグラフの部分を表す直線の、ｘ座標を変数ｙの関数としてグラフを表そうとする場合、
その直線の式は、
x=ay+b
という関数でしか扱えない。
y=-1, という直線の式は、下の図のように、x=f(y)と表すyの関数で表すことができない。
y=-1は、yの関数ではない。
x=ay+bというｙの関数によっては、ｘ軸に平行な放物線の部分に近似させた直線を表すことができない。
そのため、x軸に平行な放物線の部分の直線は、yの関数を使っては、決して表す事ができない。
ｙの関数で、放物線のその部分が表せないので、その部分での接点もｙの関数を使っては求める事ができない。
そのような事情があるので、X軸に平行な接線とグラフの接点は、変数ｙによっては、接点が判別できない。そのため、変数ｙの式４はＸ軸に平行な接線との接点に関しては、変数ｙの重解を持つことも無い。
ｘ軸に平行な接線とグラフの接点についての場合Aでは、その接線の方向ベクトルが射影し得るX軸の変数ｘを使って判別する。方程式2でｙの値を固定して定数とした場合の変数ｘの解を求めて、方程式２がｘの重解を持つ事を発見することで接点を発見する必要がある。
（補足２）
解答２においては、解答２の式４によって求めた４つの共有点を使って接点を求めた。解答２でも接線にグラフが接する事で重解になる接点は、その接線の方向ベクトルがX軸に射影し得る場合にのみ、接点が発見できる。接線の方向ベクトルがY軸に平行である場合は接点が発見できない。
Y軸に平行な接線とグラフの接点については、解答４と同様に、解答２の式４のｘ座標の重解によっては求める事ができません。
しかし、放物線の接線がY軸に平行になる事は無いため、
解答２では、Y軸に平行な接線とグラフの接点を求める必要性が無かった。そのため、問題が生じなかったのです。
（微分との関係）
グラフy=f(x)の接線との接点を、変数ｘの重解によって判別する際に、Y軸に平行な接線との接点については判別できない（重解が無い）事は、微分によって接点を求める方法では、以下の事と対応しています。
変数ｘによるグラフy=f(x)の微分係数f'(x)を求めて接点を求める場合は、接点では、変数ｘによる関数の微分係数が同じになる事を利用します。
しかし、上図のように、y=f(x)のグラフのY軸に平行な部分には変数ｘによる微分係数f'(x)が存在しないので変数ｘでのグラフy=f(x)の調査では接点が発見できない。（変数ｙでグラフを表して、変数ｙでの微分係数を調べればY軸に平行な接線x=-1とグラフとの接点(-1,0)が発見できる）
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