円と放物線の接線（３）難問

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。

【研究問題】以下の問題は高校の数学では解けません。入学試験にも出ない問題です。
しかし、研究のために、この問題を解いてみます。

【問１】（難問）
ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝（ｘ＋１）^２＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ａ，ｂ）の値を求めよ。

（解答の方針）
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。

（解答）
（１）
接点（ａ，ｂ）において、 
式１から、
放物線　ｂ＝（ａ＋１）^２＋ｈ　　（式３）
式２から、
円　ａ^２＋ｂ^２＝１　（式４） 

（２）
式１の放物線の接点（ａ，ｂ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
２（ａ＋１）
（３）
式２の円の接点（ａ，ｂ）における接線の傾きは、
法線の傾きｂ／ａの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
－ａ／ｂ

（４）
この２つの接線の傾きの値が等しいので、
２（ａ＋１）＝－ａ／ｂ
ｂ＝－ａ／（２（ａ＋１））　（式５）
 
（５）
この式５を式４に代入すると、

ａ^２＋（ａ／（２（ａ＋１）））^２＝１
（ａ^２－１）（ａ＋１）^２＋ａ^２／４＝０
ａ^４＋２ａ^３＋ａ^２／４－２ａー１＝０　（式６）
この式６の四次方程式の正確な解は見つかりません。
そのため、この式６の左辺の４次関数のグラフを、ａ＝ｘとするｘｙ座標に書いて、４次方程式の答えをグラフで求めます。

そのために、EXCELを使ってグラフを書きます。
この際、 そのグラフの描き方を勉強しておいてください。
その結果、以下のグラフが得られました。

 
グラフから、ｙ＝０となるｘ＝ａは、
a≒０．９７　（式７）
ｏｒ
ａ≒－０．６１　（式８）


（５－１）
ａ≒０．９７の場合、
式５を計算すると、
ｂ≒－０．２５
式３からｈを計算すると、
ｈ≒－４．１３


（５－２）
ａ≒－０．６１の場合、
式５を計算すると、
ｂ≒０．７８
式３からｈを計算すると、
ｈ≒０．６３
（解答おわり）

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