放物線の極線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【難問】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍ直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点をＳとするとき、
傾きｍを変化させたとき、Ｓはある直線上にあることを示せ。

この問題は、以下の問題と同じ問題です。
【問題２】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の接点を結んだ直線上にあることを示せ。

また、以下の問題とも同じです。
【問題３】放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
に、点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線が交差する交点をＱとＲとするとき、
点Ｑでの放物線の接線と点Ｒでの放物線の接線との交点Ｓは、ｍの値に関係なく、ある直線上にあることを示せ。

（解答の方針）
この問題は、放物線外の一点Ｐから、放物線に弦を無数に引いたとき、弦の両端における２本の接線の交点を結んでできる直線（これは極線と呼ばれている。その極線を作る元になる点Ｐは「極」と呼ばれている）を求める、有名な問題です。

この問題は、何度でも解いて練習すべき問題として推薦します。

（解答）
（１）
点Ｐ（ａ，ｂ）を通る傾きｍの直線を以下の式で定義する。
ｙ－ｂ＝ｍ（ｘ－ａ）　（式２）
点Ｑ（ｃ，ｄ）とＲ（ｅ，ｆ）との座標ｃ及びｅを求める式は、式１に式２を代入してｙを消去することで求められる。
ｘ^２＝ｍ（ｘ－ａ）＋ｂ
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝０
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
（２）
点Ｑ及び点Ｒでのｘ＝ｔ（ｔ＝ｃ，ｅ）の位置でも接線の傾きは式１を微分することで求められる。
ｙ’＝２ｘ　（式４）
式４から、ｘ＝ｔの位置での接線の傾きは２ｔである。
よって、ｘ＝ｔとなる放物線上の点の接線の式は、以下の式であらわせる。
ｙ－ｔ^２＝２ｔ（ｘ－ｔ）
この式をｔについて整理する。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝０　（式５）
この式５は、
（ｘ，ｙ）が、点Ｑの接線とＲの接線とで共通な値となるとき、
すなわち、両接線の交点Ｓ（ｘ，ｙ）の座標をあらわすとき、
ｔに、点Ｑ（ｃ，ｄ）の座標値ｃを代入して成り立つ式であり、
かつ、Ｒ（ｅ，ｆ）の座標値ｅをｔに代入して成り立つ式である。
よって、式５は、Ｓ（ｘ，ｙ）の座標に関する式で、ｔ＝ｃ、ｔ＝ｅを根に持つ二次方程式である。
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
（３）
式３と式６を比べると、
ｘ^２－ｍｘ＋ｍａ－ｂ＝（ｘ－ｃ）（ｘ－ｅ）　（式３）
ｔ^２－２ｘｔ＋ｙ＝（ｔ－ｃ）（ｔ－ｅ）　（式６）
式３と式６の根と係数の関係より、
－ｍ＝－（ｃ＋ｅ）＝－２ｘ
ｍ＝２ｘ　（式７）
ｍａ－ｂ＝ｃｅ＝ｙ
ｍａ－ｂ＝ｙ　（式８）
式７と８よりｍを消去すると、
２ｘａ－ｂ＝ｙ
ｙ＝２ａｘ－ｂ　（式９）
点Ｓは、この直線９（極線）上にある。
（解答おわり）

【注意】
この問題を、点Ｓの軌跡を求める問題と考える場合は、点Ｓの軌跡は式９であらわされる直線のうち、式１の放物線で切り取られる弦の外側の部分を描くことに注意。

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