２つの放物線の共通接線

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】２つの放物線
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）
の共通接線の方程式を求めよ。


（解答の方針）
式１の接点Ａ（ａ，ｂ）での接線の式をあらわし、
式２の接点Ｃ（ｃ，ｄ）での接線の式をあらわし、
それらの接線の式が等しいとする方程式を書いて、
その方程式を解けば良い。

ただし、その方程式を解く過程で計算間違いをすると正しい答えが出ない。
そのため、計算間違いを少なくする問題の解き方を工夫する。

（解答）
ｙ＝　ｘ^２　（式１）
ｙ＝－（ｘ－２）^２　（式２）

（１）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝２ｘ　（式３）
接点Ａ（ａ，ａ^２）での式１の接線の式は
傾きｙ’＝２ａ
だから、以下の式になる。
ｙ－ａ^２＝ｙ’（ｘ－ａ） 
ｙ－ａ^２＝２ａ（ｘ－ａ）　（式４）

（２）
式２を微分して式２のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝－２（ｘ－２）　（式５）
接点Ｃ（ｃ，－（ｃ－２）^２）での式２の接線の式は
傾きｙ’＝－２（ｃ－２）
 だから、以下の式になる。
ｙ＋（ｃ－２）^２＝ｙ’（ｘ－ｃ）
ｙ＋（ｃ－２）^２＝－２（ｃ－２）（ｘ－ｃ）
この式を、
ｃ－２＝ｅ　（式６）
とおいて、以下のように単純な式であらわす。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｃ）　（式７）
このように単純な形に式をあらわすことで、計算が簡単になり、計算間違いを少なくすることができる。
式７に残っているｃもｅにおきかえる。
ｙ＋ｅ^２＝－２ｅ（ｘ－ｅ－２）　（式８）

（３）
接線の式８と４の傾きが等しい条件式を求める。
－２ｅ＝２a
ｅ＝－ａ　（式９）
（４）
式４と式８のそれ以外の項も等しくなる条件式を求める。
ｅ^２＋２ｅ（－ｅ－２）＝－ａ^２＋２ａ・ａ
－ｅ^２－４ｅ＝ａ^２
式９を代入してｅをａにおきかえる。
－ａ^２＋４ａ＝ａ^２
－２ａ^２＋４ａ＝０
ａ（ａ－２）＝０
ａ＝０　（式１０）
ｏｒ
ａ＝２　（式１１）

（５）式１０の場合：
ａ＝０　（式１０）
式１０を式４に代入。
ｙ＝０　（式１２）

（６）式１１の場合：
ａ＝２　（式１１）
式１１を式４に代入。
ｙ－４＝４（ｘ－２）
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）

以上の結果、式１と２の放物線の共通接線の方程式は、
ｙ＝０　（式１２）
と、
ｙ＝４ｘ－４　（式１３）
である。
（解答おわり）

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