佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講 高次方程式
《ページ内リンク》
▷１の４乗根
▷１の５乗根
▷１の３乗根（ページ外にリンク）
▷実数の指数法則と複素数の指数法則
【問１】Ｘ４＝１の解を求めよ。
Ｘ４－１＝０
この方程式の４つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
Ｘ０＝１，Ｘ１＝ｉ，Ｘ２＝－１，Ｘ３＝－ｉが、
Ｘ４－１＝０
の４つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに９０度（π／２ラジアン）回転した位置にあり、更に、順次に９０度回転した位置が、この方程式の解です。
Ｘ１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角９０度を４倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。
Ｘ２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１８０度を４倍 すれば３６０度×２になり、実軸に戻ります。
Ｘ３と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２７０度を４倍 すれば３６０度×３になり、実軸に戻ります。
複素数を４乗するということは同じ複素数を４回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を４乗すれば、その複素数の偏角が４回足し算されて４倍になりました。
すなわち、
Ｘ４＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度、３６０度×２、３６０度×３と考えて、その偏角を４分の１の９０度、１８０度、２７０度にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ４＝１の複素数の解になります。
【問２】Ｘ５＝１の解を求めよ。
Ｘ５－１＝０
この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
が、Ｘ５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。
Ｘ１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π／５ラジアンを５倍すれば２πになり、実軸に戻ります。
Ｘ２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π×（２／５）ラジアンを５倍すれば２π×２になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、Ｘ３とＸ４は、２π×３、２π×４になり、実軸に戻ります。
結局、
Ｘ５＝１の複素数の解は、２π／５ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ５＝１の複素数の解になります。
同様に考えることで、
Ｘｎ＝１の複素数の解は、２π／ｎラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸｎ＝１の複素数の解になります。
すなわち、値１の点を頂点の１つにする正ｎ角形の各頂点が、その方程式の解になります。
【問２（ｂ）】Ｘ５＝１の解を、三角関数の値も計算して求めること。
この解の求め方を次のページで解説します。
しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。
《実数の指数法則と複素数の指数法則》
なお、１の３乗根の基本単位や１の５乗根の基本単位は以下の式で表すのが良いと思います。
そうすると、１の２乗根の基本単位の値も、１とするよりは、以下の式で表した方が良いと思います。
そして、以下の演算が成り立つと考えられます。
今後は、以下の様に、１の２乗根は基本単位で表して計算すると良い。そうすると√ は正の値を表すものとした表現ルールに合わなくなる（そもそも正の数では無い虚数を√ 記号で表した時点でルール違反）ので√ 記号は使わず２分の１乗記号で表した１の２乗根の基本単位を使って計算した方が良いと思います。
しかし、指数法則
が使えるためには、
と展開しても矛盾させないために、
（１の有理数乗や実数乗は全て１）とせざるを得ないので、悩ましい問題です。
という矛盾も起こさないようにする必要もあります。
という矛盾もだめです。
それらの矛盾を回避するためには、指数法則
と、
は、
a>0, b>0, （指数の底は必ず正にする）
の場合に限って使えるように制限することによって、上の式の問題を回避します。これが、実数の指数法則です。
一方、虚数ｉの演算は、虚数記号ｉを使って、その記号の演算ルールで計算することにし、実数の指数法則は虚数の演算には関与させない（複素数の指数法則は後で説明する）ことで問題を回避します。
複素数の指数法則は、以下の様に実数の指数法則を拡張します。複素数ｚは、以下の式のように、ネイピア数（正の実数です）の複素数乗であらわします。
この形で表した複素数は、ネイピア数が正の数なので、指数の底が正の実数であるという指数法則の基本条件を満足しています。指数関数の底は正の実数のままにして、指数だけを複素数まで拡張して指数法則を拡張します。複素数の指数法則の下でも、１の複素数乗は１になります。
そして、１の２つの２乗根を以下の計算で求めます。
１の２乗根を求めるために指数法則を適用する１は底がｅであって、指数が異なる２つの数に分けて扱います。こうすれば、１の２乗根の１つを－１にでき、もう１つを１にできます。
また、以下の計算のように指数法則を矛盾を生じないように使えます。以下の計算の一番左側の項の（－１）の２分の１乗は、√(-1)という表現と同じく間違った表現です。（－１という数は、指数が異なる２つの数に分けて扱うべき）。しかし、(-1)の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました。
上の式で(-1)をｅのπｉ乗であらわしましたが、(-1)は、ｅの(－πｉ)乗でも表されます。そのように表された２つ目の(-1)の２分の１乗は－ｉになります。
以下のように、１の２乗根の２つを、指数法則を使って寄り道して計算することもできます。（以下の計算式の一番左側の項の１の２分の１乗は１です。しかし、１の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました）。この指数法則の計算では矛盾が生じていない。
（補足）なお、指数法則が、高校２年生までは、指数関数の指数が整数である場合に限って、指数法則の基本条件が緩められて、指数関数の底は０で無いこと。底が負でも良いとされていました。しかし、指数が有理数になると、その条件では指数法則が成り立たなくなり、指数関数の底は正の実数であるという基本条件を満足する必要があります。指数法則のこの基本条件は、指数が実数や複素数になっても変わりません。
（蛇足）ちなみに底が０の場合は、以下のようになると考えられる。
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「n乗根１」大学入試から学ぶ高校数学
第５講 高次方程式
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▷実数の指数法則と複素数の指数法則
【問１】Ｘ４＝１の解を求めよ。
Ｘ４－１＝０
この方程式の４つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
Ｘ０＝１，Ｘ１＝ｉ，Ｘ２＝－１，Ｘ３＝－ｉが、
Ｘ４－１＝０
の４つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに９０度（π／２ラジアン）回転した位置にあり、更に、順次に９０度回転した位置が、この方程式の解です。
Ｘ１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角９０度を４倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。
Ｘ２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１８０度を４倍 すれば３６０度×２になり、実軸に戻ります。
Ｘ３と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２７０度を４倍 すれば３６０度×３になり、実軸に戻ります。
複素数を４乗するということは同じ複素数を４回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を４乗すれば、その複素数の偏角が４回足し算されて４倍になりました。
すなわち、
Ｘ４＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度、３６０度×２、３６０度×３と考えて、その偏角を４分の１の９０度、１８０度、２７０度にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ４＝１の複素数の解になります。
【問２】Ｘ５＝１の解を求めよ。
Ｘ５－１＝０
この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。
上の図で、
が、Ｘ５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。
Ｘ１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π／５ラジアンを５倍すれば２πになり、実軸に戻ります。
Ｘ２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π×（２／５）ラジアンを５倍すれば２π×２になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、Ｘ３とＸ４は、２π×３、２π×４になり、実軸に戻ります。
結局、
Ｘ５＝１の複素数の解は、２π／５ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ５＝１の複素数の解になります。
同様に考えることで、
Ｘｎ＝１の複素数の解は、２π／ｎラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸｎ＝１の複素数の解になります。
すなわち、値１の点を頂点の１つにする正ｎ角形の各頂点が、その方程式の解になります。
【問２（ｂ）】Ｘ５＝１の解を、三角関数の値も計算して求めること。
この解の求め方を次のページで解説します。
しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。
《実数の指数法則と複素数の指数法則》
なお、１の３乗根の基本単位や１の５乗根の基本単位は以下の式で表すのが良いと思います。
そうすると、１の２乗根の基本単位の値も、１とするよりは、以下の式で表した方が良いと思います。
そして、以下の演算が成り立つと考えられます。
今後は、以下の様に、１の２乗根は基本単位で表して計算すると良い。そうすると√ は正の値を表すものとした表現ルールに合わなくなる（そもそも正の数では無い虚数を√ 記号で表した時点でルール違反）ので√ 記号は使わず２分の１乗記号で表した１の２乗根の基本単位を使って計算した方が良いと思います。
しかし、指数法則
が使えるためには、
と展開しても矛盾させないために、
（１の有理数乗や実数乗は全て１）とせざるを得ないので、悩ましい問題です。
という矛盾も起こさないようにする必要もあります。
という矛盾もだめです。
それらの矛盾を回避するためには、指数法則
と、
は、
a>0, b>0, （指数の底は必ず正にする）
の場合に限って使えるように制限することによって、上の式の問題を回避します。これが、実数の指数法則です。
一方、虚数ｉの演算は、虚数記号ｉを使って、その記号の演算ルールで計算することにし、実数の指数法則は虚数の演算には関与させない（複素数の指数法則は後で説明する）ことで問題を回避します。
複素数の指数法則は、以下の様に実数の指数法則を拡張します。複素数ｚは、以下の式のように、ネイピア数（正の実数です）の複素数乗であらわします。
この形で表した複素数は、ネイピア数が正の数なので、指数の底が正の実数であるという指数法則の基本条件を満足しています。指数関数の底は正の実数のままにして、指数だけを複素数まで拡張して指数法則を拡張します。複素数の指数法則の下でも、１の複素数乗は１になります。
そして、１の２つの２乗根を以下の計算で求めます。
１の２乗根を求めるために指数法則を適用する１は底がｅであって、指数が異なる２つの数に分けて扱います。こうすれば、１の２乗根の１つを－１にでき、もう１つを１にできます。
また、以下の計算のように指数法則を矛盾を生じないように使えます。以下の計算の一番左側の項の（－１）の２分の１乗は、√(-1)という表現と同じく間違った表現です。（－１という数は、指数が異なる２つの数に分けて扱うべき）。しかし、(-1)の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました。
上の式で(-1)をｅのπｉ乗であらわしましたが、(-1)は、ｅの(－πｉ)乗でも表されます。そのように表された２つ目の(-1)の２分の１乗は－ｉになります。
以下のように、１の２乗根の２つを、指数法則を使って寄り道して計算することもできます。（以下の計算式の一番左側の項の１の２分の１乗は１です。しかし、１の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました）。この指数法則の計算では矛盾が生じていない。
（補足）なお、指数法則が、高校２年生までは、指数関数の指数が整数である場合に限って、指数法則の基本条件が緩められて、指数関数の底は０で無いこと。底が負でも良いとされていました。しかし、指数が有理数になると、その条件では指数法則が成り立たなくなり、指数関数の底は正の実数であるという基本条件を満足する必要があります。指数法則のこの基本条件は、指数が実数や複素数になっても変わりません。
（蛇足）ちなみに底が０の場合は、以下のようになると考えられる。
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「n乗根１」大学入試から学ぶ高校数学
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