2011年11月20日日曜日

第5講:高次方程式(1)1の三乗根を複素数平面で求める




佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第5講 高次方程式

【問】次の式を因数分解してx=1の解を求めよ。
-1=0

この式は以下のように変形して解きます。
-1
=(x-1)(x+x+1)
=(x-1){(x+(1/2))-(1/2)+1}
《公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使う。その準備》
よって、x=1の解は
上のようにして因数分解することで、x=1の複素数の解が得られました。この3つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、x=1,A,Bが、x=1の3つの解です。
Aは、複素数平面上で、0と1を結ぶ実軸上の線分から0を中心にして左回りに120度(2π/3ラジアン)回転した直線上にあり、Bは右回りに120度(左回りに240度)回転した直線上にあります。

Aと0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角120度を3倍すれば360度になり、実軸に戻ります。Bと0を結ぶ直線が0と1を結ぶ実軸上の線分と成す角の、右回りに120度(左回りに240度)を3倍すれば右回りに360度(左回りに720度)になり、実軸に戻ります。

複素数を3乗するということは同じ複素数を3回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算される(禁じられた複素数平面の教え)ので、複素数を3乗すれば、その複素数の偏角が3回足し算されて3倍になりました。
すなわち、禁じられた複素数平面の教えを使えば、
=1の複素数の解は、1の偏角を360度及び-360度と考えて、その偏角を3分の1の120度にし、その偏角を持つ絶対値1の複素数の値を図から求めれば、それがx=1の複素数の解になります。

そうして求めた答えは、禁じられた複素数平面の教えを使って得たものですので、どうやってその答えを出したかを説明する場合は、最初に書いた、教わった範囲の解き方で解答するのが良いと思います。
おそらく、大学の入学試験では、「禁じられた複素数平面の教え」も禁じ手では無く、素直に複素数平面を使って解いたと解答に書いても合格点をもらえるかもしれません。
しかし、高校2年の試験で、そのような解答を書いたら、当然のことですが0点になりますので、くれぐれも、これを知っていることを隠して生活することが望ましいと考えます。
  なお、この教えは、2011年度からは禁止が解けました。
2011年度から、高校3年の数Ⅲで教えるようになりました。
そのため、高校3年からは、この教えを使って解いたと解答に書いても、合格点をもらえるようになりました。


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