三角形の辺と角の等式をベクトルで証明

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の以下の問題をベクトルを利用して解きます。

【問３２】上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)=a²－b²

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)－{a²－b²}=0

この左辺が０になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、０になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題をベクトルを利用して証明します。

証明おわり。

　この問題はベクトルを利用しないで、余弦定理を使って解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
　ベクトルの内積を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


リンク：
三角形の辺と角の等式の証明
リンク：高校数学の目次

ベクトルの内積と三角関数のｃｏｓの加法定理

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

２つのベクトルとがあるとき、
その各ベクトルの長さの２乗は、そのベクトルの成分によって以下のようにあらわせます。

ベクトルＯＷの成分を実数Ｗ_１とＷ_２とし、
ベクトルＯＳの成分を実数Ｓ_１とＳ_２とすると：
ベクトルＯＷの長さの２乗＝Ｗ_１Ｗ_１＋Ｗ_２Ｗ_２
ベクトルＯＳの長さの２乗＝Ｓ_１Ｓ_１＋Ｓ_２Ｓ_２
この計算を２つのベクトルにまたがって計算する計算をベクトルの内積とします。


すなわち、
その２つのベクトルの内積が、そのベクトルの成分を用いて以下の式（１）で定義されます。
 ・＝Ｓ_１Ｗ_１＋Ｓ_２Ｗ_２　　　（式１）

上図のように、絶対値が１の２つの単位ベクトルとがあるとき、
その２つの単位ベクトルの成す角度θの余弦ｃｏｓ（θ）は、この２つの単位ベクトルの内積・と等しくなります。

・＝||・||ｃｏｓ（θ）＝ｃｏｓ（θ）

以下で、その関係があることを示します。
単位ベクトルの偏角は実数αとし、単位ベクトルの偏角は実数βとする。

ベクトルの成分の実数Ｗ_１，Ｗ_２，Ｓ_１，Ｓ_２と角度を表わす実数αとβとθの間には以下の関係があります。
θ＝β－α
Ｗ_１＝ｃｏｓα
Ｗ_２＝ｓｉｎα
Ｓ_１＝ｃｏｓβ
Ｓ_２＝ｓｉｎβ

余弦定理により

∴　ｃｏｓ（θ）＝Ｓ_１Ｗ_１＋Ｓ_２Ｗ_２

　このように、ベクトルの内積は、ベクトルの成分の積の和であらわすことができるという特徴があります。

　なお、単位ベクトルの内積の式（式１）は、以下の式（三角関数のｃｏｓの加法定理）と同じ式です。
ｃｏｓ（β－α）＝ｃｏｓβｃｏｓα＋ｓｉｎβｓｉｎα　　（式２）

リンク：
高校数学の目次

第３講３節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習４解答

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習４】 

式１を代入

この式は練習１の方法で０にできる。


リンク：
高校数学の目次

第３講３節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習３解答

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習３】 

式２を代入

式１を代入
　＝－１＋１
　＝０



リンク：
高校数学の目次

第３講３節 ベクトルの内積の和と積の公式の練習２解答

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強



【練習２】 

式２を代入

式１を代入

この式は練習１の方法で０にできる。
すなわち

式１を代入

式２を代入

リンク：
高校数学の目次

ベクトルの内積の和と積の公式の練習１解答

【練習１の問題】 


　半径１の球の中心Ｏと球面上の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとを結ぶベクトルを

とする。それらのベクトルには式１が成り立つ。

　更に、それらのベクトルについて式２の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを確認せよ。

（問題おわり）

【解答はじめ】

式１を代入する

式２を代入する

リンク：
高校数学の目次