ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積

「大学への数学」の勉強

【問】下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）である三角形ＯＡＢの点Ｂと辺ＯＡとの距離ｈを求めよ。

上図から、点Ｂの距離ｈは、式（１）のように、ベクトルＯＡを左回りに９０°回転したベクトルＯＰとベクトルＯＢの内積から求めることができる。

そして、三角形ＯＡＢの面積Sは、式（２）のように、ベクトルＯＰとベクトルＯＢの内積によって求められる。

このクロス積の形をした式は、行列式とも呼ばれています。

【三角形の面積の公式】

　２つのベクトルａとｂの張る三角形の面積はクロス積であらわしたベクトルの外積で計算できます。
　しかし、外積の演算については高校では教えていないので、その三角形の面積をベクトルの内積であらわすように覚えましょう。
　すなわち、ベクトルａを反時計回りに９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂを反時計回りに９０度回転させたベクトルｂ_ｖを考えて、内積
ａ_ｖ・ｂ＝－ｂ_ｖ ・ａ
の２分の１で三角形の面積をあらわすように覚えましょう。
各ベクトルの成分は以下の通りです。

　ベクトルの内積演算には、三角形の面積をあらわすことが不得意だという弱点があります。
　その弱点を補うために、与えられたベクトルａやｂに加えて、それらを９０度回転させたベクトルａ_ｖ 又はベクトルｂ_ｖを追加して計算に用います。その新たに加えたベクトルを使った内積の計算によって三角形の面積があらわせるのです。
  そうしないで、すなわち、ベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加しないで、無理やりにベクトルの内積で三角形の面積を表わそうとすると計算が難しくなります。

【三角形OABの高さベクトルh】

三角形OABの高さベクトル h は、上の式であらわせます。
この式を少し変形してみます。

（三角形の２辺を表す２つのベクトルの一方を９０度回転させて他方のベクトルと内積を計算するのは、その三角形の面積の２倍を計算することと等価です。三角形は辺が３つあるので、三角形の２辺の組み合わせが３通りあります。そのどの組み合わせを使っても三角形の面積を表すことができる計算のバラエティがあります。）

この高さベクトルｈの式を、ベクトルｂとａだけであらわそうとすると以下の式のように式が複雑になります。
三角形の、ベクトルａに垂直な高さベクトルｈをあらわすには、
ベクトルａとそれを９０°回転させたベクトルを使った最初の式の方が良いと考えます。

このベクトルｈの式の複雑な式を単純な式に変換する公式：
「９０度回転したベクトルをベクトルの分解の公式であらわす」
のページの以下の公式を覚えましょう。

リンク：
三角形をずれ変形させて面積を求める
三角形の高さベクトルｈの公式
三角形の面積をベクトルで分解して計算する
追加講　三角形の面積と行列式
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